Goniometrische Gleichung 181.5 cos(x) - 706 sin(x) + 9 = 0 lösen

Question

Ich habe folgende Gleichung bereits fehlerfrei bis zu dem Punkt gelöst:

$$181.5\cdot cos(\alpha)- 706\cdot sin(\alpha)+9=0$$

Jedoch weiss ich nun nicht mehr weiter. Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Eine Lösung erhältst du mit dem Ansatz  a·sin α + b·cos α  =  A·sin (α+φ).
Löse die rechte Seite mit einem Additionstheorem auf, mache einen Koeffizientenvergleich.
mit sin^2 + cos^2 = 1  und  tan = sin/cos löst du nach A und φ auf (Vorzeichen durch Probieren bestimmen). A·sin (α+φ) = -9 ergibt dann α.
Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es weitere Lösungen.

(Kollege H. würde die Lösung im Koplexen suchen.)

Answer 2

    706  sin  (  ß  )  -  181.5  cos  (  ß  )  =  9        (  1  )

   Die Uni sah darauf, dass wir diese Technik schon im ersten Semester drauf hatten. Wir knacken das jetzt mit Pythagoras + Additionsteorem ( AT )

      sqr  (  706  ²  +  181.5  ²  )  =  706  sqr  [  1  +  ( 1.815 / 7.06 ) ² ]  =  (  2a  )

  =  706 * 1.032  =  728.6    (  2b  )

     Ich mache dich auf den Trick aufmerksam, wie man in ( 2a ) ( nummerisch genau ) eine Pythagoraswurzel bestimmst. Die Größenordnung ziehst du heraus; die Wurzel kann dann nicht größer werden als Wurzel ( 2 )

   Der Zusammenhang zwischen Pythagoras und AT in ( 1 )

     181.5  =:  728.6  sin  (  ß0  )   sin  (  ß0  )   =  .2491         (  3a  )

    706  =  728.6  cos  (  ß0  )      (  3b  )

     Ihr habt ja den TR  ; ivh mach das jetzt mal mit Muttis Logaritmentafel.

       2476  =  sin  (  14  °  20  '  )

      2504  =  sin  (  14  °  30  '  )

      x / 10  =  15/28 ; x = 5 * 15 /14 = 5 ;  ß0 = 14 ° 25 '

     Du tust also ( 1 ) teilen durch diese 728

     sin  (  ß  -  ß0  )  =  9 / 728.6 = 1.235  (E-2)

    Das ist quasi eine Schwebung; die Differenz zwischen ß und ß0 ist so gering, dass hier noch die Näherung greift sin ( x ) = x

Comments

Kennst du die "Weierstraß-Substitution"? Würdest du das für sinnvoll einschätzen?

Answer 3

181.5⋅cos(α)−706⋅sin(α)+9=0

181.5⋅cos(α) = 706⋅sin(α)-9 | (:..)^2

181.5^2 * cos^2(α)= (706⋅sin(α)-9)^2

181.5^2 * cos^2(α)=  706 ^2 sin^2(α)  - 12708 sin(α) +81

->allgemein: sin^2(α) +cos^2(α)= 1

cos^2(α)= 1 -sin^2(α)

----->181.5^2 (1 -sin^2(α)) )=  706 ^2 sin^2(α)  - 12708 sin(α) +81

181.5^2  -181.5^2 sin^2(α)  =  706 ^2 sin^2(α)  - 12708 sin(α) +81

181.5^2  -181.5^2 sin^2(α)  -  706 ^2 sin^2(α)  + 12708 sin(α) -81=0

zusammenfassen , setze z= sin(α) , dann pq-Formel anwenden

-->resubstituieren.

Answer 4

Ich probiers auch mal - kennst du die "Weierstraß-Substitution"  \(\tan\left(\frac{x}{2}\right)=t\)? (vgl. hier) Das ist immer mein Ansatz bei solchen Aufgaben. Es gilt:$$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$$$$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ Du erhältst also die Gleichung:$$181.5\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}-706\cdot \frac{2t}{1+t^2}+9=0$$ Nach einigen Umformungen kannst du dann die Mitternachtsformel anwenden:$$t_{1,2}=\frac{-1412\pm\sqrt{1412^2+131445}}{345}$$ Nun Rücksubstituieren:$$\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{-1412\pm\sqrt{1412^2+131445}}{345}$$ Du hast also folgende Lösungen:$$x_{1,2}=2\arctan\left(\frac{-1412\pm\sqrt{1412^2+131445}}{345}\right)+2k\pi \quad |k∈ℤ$$ Die Weißerstraß-Substitution kann nur genutzt werden, wenn \(x≠\pi+2k\pi\) und \(k∈ℤ\) gilt, also überprüfst du, ob \(x=\pi+2k\pi\) eine Lösung der Gleichung ist. Ich habe das nun schon gemacht - es ist keine Lösung! Daher stimmen die Lösungen oben!

Comments

Wenn du zweifelst. Kontrolliere mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=706++sin++(++ß++)++-++181.5++cos++(++ß++)++%3D++9 .

Zudem kannst du ja auch die Einsetzprobe machen :) So bist du zumindest sicher, ob die gefundenen Resultate stimmen. Es könnte allerdings immer noch sein, dass du irgendeine Lösung übersehen hast.

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Das ist mir wohl bewusst, aber man kann nie sicher genug sein. Ich täusche mich leider sehr oft.

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Ich kritisiere die Vorsicht nicht und habe deine Rechnung nicht kontrolliert.

Kontrollen (Einsetzprobe, Rechenmaschinen, Plottereinsatz …)  sind aber eigentlich immer nötig. Da können auch die Fragesteller noch etwas tun, bevor sie abschreiben.

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     Zu deinem netten Kommentar.

  Ich kannte es nicht; ich musste erst in Wiki nachsehen. Dort hieß es, man setzt dies zur Berechnung von Integralen ein - wo mir weit eher die komplexe e-Metode vorschweben würde.

    Was mir nun gar nicht einleuchtet, ist, dass bei Weierstrass die Symmetrie zwischen Sinus und Kosinus verloren geht. Und um ehrlich zu sein; gegenüber allen Arten von Wurzeln im Allgemeinen und der Mitternachtsformel ( MF ) im Besonderen empfinde ich eine gesunde Skepsis.

  In dem von mir ( et al ) bevorzugten Standardverfahren erscheinen Amplitude und Phase scharf getrennt, wohingegen die MF traditionell immer alle Einflüsse miteinander vermengt.

    Aber da wir schon bei den Integralen sind. Immer wenn man die bücher sucht, findet man sie nicht; auf Empfehlung eines Spektrumartikels besorgte ich mir ein schlaues Buch, wo von " Differenzialkörpern " die Rede war und einer Determinante namens " Resultante " Dieses Buch behauptet nun, diese Detrminante müsstest du unbedingt drauf haben. Denn sie entscheidet darüber, ob ein Integral elementar lösbar sei oder nicht; so könne man heute erstmals BEWEISEN , dass es unmöglich sei, ein elementares Gaußsches Fehlerintegral zu finden.

    Ich dachte mir, wo du doch so ein schlauer Mensch bist. Vielleicht kannst du mir das mal erklären, was die damit eigentlich wollen.

    Wie ist das? Wenn du bei mir kommentierst, werde ich doch benachrichtigt?
   

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Dazu kann ich leider nichts sagen, weil ich davon leider noch nie etwas gehört habe.

Wie ist das? Wenn du bei mir kommentierst, werde ich doch benachrichtigt?

Ja.

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  Mir fiel inzwischen noch etwas auf / ein .   Weierstrass seine Variable t ist ja definiert als ein Tangens; du selbst erwähnst ja die Polstellen, an denen sie nicht definiert ist.

    Ich soll also sagen wir auf dem kompakten Intervall [ 0 ; 4 Pi ]  sagen wir ein Polynom aus Sinus und Kosinus integrieren - eine absolut gutartige Funktion.

   Und durch dieses t wird das Integral auf einmal uneigentlich auf einem unendlichen Intervall; was mache ich etwa, wenn ich über eine Polstelle von diesem t hinweg integrieren soll? Ist so etwas matematisch überhaupt noch zulässig?