Allquantor: Wie ist der richtig zu lesen ?

Question

Ich habe festgestellt, dass ich bei de Quantoren noch probleme habe:

Seien X,Y Mengen und A eine Aussage. 

∀x∈X ∃y∈Y : A(x,y) 

In Worten: "Für alle x in X existiert ein y aus der Menge Y für die die Aussage (Ax,y) gilt."

Das ist für mich mehrdeutig:

Bedeutet das, dass für alle x, also für jedes einzelne x aus der Menge X ein y aus der Menge Y existiert ? 
Also zB. für

x₁, x₂, x₃,...,x_n existiert separat ein y₁, y₂, y₃,...,y_n und sie bilden jeweil ein Paar A(x_n,y_n).

Oder exisitiert für die Gesamtmenge der einzelnen Elemente ein einziges y?

Danke !

Answer 1

"Für alle x in X existiert ein y aus der Menge Y für die die Aussage (Ax,y) gilt."

Passt nicht so wirklich.

Lies:

"Für alle x in X existiert ein y aus der Menge Y, für das die Aussage A(x,y) gilt."

Comments

Und das bedeutet:

„Für jedes einzelne x aus X existiert ein bestimmtes y aus Y für das (ich beziehe mich hier wieder auf das x) gilt A(x,y).“

Richtig ? :)

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„Für jedes einzelne x aus X existiert ein y aus Y, für das gilt A(x,y).“

"das" bezieht sich auf y.

Beispiel: Eine Gleichung mit zwei Unbekannten. X = Y = ℝ

2x + 4y = 8 .

Für jede reelle Zahl x findet man eine reelle Zahl y, so dass gilt 2x + 4y = 8.

Begründung z.B. über das Auflösen der Gleichung nach y.

Es schadet nichts, wenn die Gleichung bei gegebenem x zwei "Lösungen y" hat. (Bei meiner linearen Gleichung passiert das natürlich nicht).

Wenn aber die fiktive Gleichung für ein einziges x keine Lösung y hat, darf die Formulierung mit dem Allquantor nicht verwendet werden.

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Super endlich hab ichs verstanden! :-)

Danke für die ausführliche Erklärung!

Answer 2

  Dein Gedühl ist ganz richtig . Entweder

    (E) x  |  (V)  y  A ( x ; y )        (  1  )

     Es ist eine Eigenschaft, die an dem x " klebt " , dass diese Aussage für alle y gilt. Dagegen

    (V) y (E)  x  =  x  (  y  )  A  (  x  ;  y  )       (  2  )

       x ist eine Funktion von y . Wenn der Allquantor links steht, muss das x ( unter dem Existenzquantor ) immer als Funktion gekennzeichnet sein. Weil wenn du sagen willst, dass dieses x für alle y gilt, muss der Existenzquantor links stehen. Es ist gewisser Maßen, wie du klammerst; worauf es sich bezieht.