Aloha :)
Seien \(a,b\in\mathbb{R}^{>0}\) und zusätzlich \(a\ne b\), dann gilt:
$$\left.(a-b)^2>0\quad\right.$$$$\left.a^2-2ab+b^2>0\quad\right|\;+2ab$$$$\left.a^2+b^2>2ab\quad\right|\;+a^2+b^2$$$$\left.2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2\quad\right|\;:4$$$$\left.\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{(a+b)^2}{4}\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}>\frac{a+b}{2}\quad\right.$$
Damit schauen wir uns die Behauptungen an:
a) Für alle \(a\in\mathbb{R}^{>0}\) können wir ein beliebiges \(b\in\mathbb{R}^{>0}\) wählen, das die Bedingung sofort erfüllt, wenn nur \(b\ne a\) ist. Daher ist die Aussage wahr \(\checkmark\)
b) Es gibt ein \(b\in\mathbb{R}^{>0}\), sodass die Behauptung für alle \(a\in\mathbb{R}^{>0}\) gilt. Das ist falsch, denn dann würde die Behauptung auch für dasjenige \(a\) gelten, das gleich \(b\) ist. Dann sind aber beide Seiten gleich.
