Ungleichung mit 4 Variablen: (ab + cd)^2 ≤ (a^2 + c^2)(b^2 + d^2)

Question

Hallo Liebe Leute !

Kann mir bitte jemand sagen wie man diese Ungleichung lösen kann mit 4 Variablen ?!

(ab + cd)^2 ≤ (a^2 + c^2)(b^2 + d^2)

Ich denke wenn ich beweisen könnte dass zb. a = 0 ist sieht man dass die Ungleichung stimmt oder?

Aber ich weiß nicht wie ich das formal beweisen kann ?

Wäre sehr dankbar für eine Erklärung!!!!

mfG

Comments

Äquivalenzumformungen (nachrechnen!): (a*b + c*d)^2

Answer 1

 

bei solchen Aufgaben multipliziere ich erst einmal aus: 

 

(ab + cd)² ≤ (a² + c²)* (b² + d²)

a²b² + 2abcd + c²d² ≤ a²b² + a²d² + b²c² + c²d² | -a²b² - c²d²

2abcd ≤ a²d² + b²c² | - 2abcd

a²d² - 2abcd + b²c² ≥ 0 | 2. Binomische Formel:

(ad - bc)² ≥ 0 

Und das gilt natürlich in jedem Falle, da ein quadrierter Term immer ≥ 0 ist.

 

Besten Gruß

Comments

Hallo Brucebabe danke für deine Antwort - so habe ich auf begonnen bis zur 2. Bin. Formel jedoch versteh ich nicht was das genau aussagt oder steh ich da komplett auf da Leitung ? :/

Lg

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Gern geschehen :-)

Letztendlich wurde die Ungleichung mehrmals umgeformt, bis sich eine eindeutige Aussage ergab. 

Lies die ganze Rechnung vielleicht einfach von hinten nach vorn, dann erhältst Du: 

Aus 

(ad - bc)² ≥ 0

was ja keiner bestreitet :-)

folgt am Schluss

(ab + cd)² ≤ (a² + c²)* (b² + d²)

So etwas verständlicher?

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Prima, freut mich sehr !!

Wenn noch irgendetwas unklar ist, bitte weiter fragen :-)