Ungleichungen zeigen: (ab + cd)^2 ≤ (a^2 + c^2)* (b^2 + d^2)

Question

Ungleichung zeigen...

Wieeee geht das ?

Für beliebige reelle Zahlen \( a, b, c \) und \( d \) zeigen Sie die Ungleichungen
\( (a b+c d)^{2} \leq\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right) \)
und finden und beweisen Sie die Bedingungen, unter denen Gleichheit gilt!

Comments

klammer auflösen, binomische Formel anwenden

und die beiden Seiten dann vergleichen. vielleicht erkennt man dann etwas

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Da hab ich dann (ab)^2 + 2abcd  +(cd)^2 <gleich (ab)^2+(ad)^2+(cb)^2+(cd)^2

Und nun ? Theoretisch muss ich ja nur noch zeigen dann 2abcd kleiner gleich ad^2+cb^2 ist, wie mach ich das ? 

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Vgl. auch: https://www.mathelounge.de/57254/ungleichung-mit-4-variablen-ab-cd-2-≤-a-2-c-2-b-2-d-2

Answer 1

Hi, 

Multipliziere mal aus:

(ab + cd)² ≤ (a² + c²)* (b² + d²)

a²b² + 2abcd + c²d² ≤ a²b² + a²d² + b²c² + c²d²     | -a²b² - c²d²

2abcd ≤ a²d² + b²c²                                                | -2abcd

a²d² - 2abcd + b²c² ≥ 0                                          | 2. binomische Formel

(ad - bc)² ≥ 0 

Nun haben wir dank der binomischen Formel einen quadratischen Term. Damit haben wir etwas quadratisches, was nicht negativ werden kann. Folglich passt die Ungleichung ;).

Grüße

Comments

Danke perfekt :) und wie zeigt man die Gleichheit ?

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Gerne ;).

Was meinst Du mit Gleichheit?

Das ganze ist nur gleich 0, wenn ad = bc, falls Du das meinst?! ;)

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Ja also der zweite Teil der Aufgabe lautete ja, und finden und beweisen sie die Bedingungen unter denen Gleichheit gilt..

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Hab ich doch grad ;).