Folge bestehend aus fallender und alternierender Folge

Question

ich versuche folgende Lösung einer Aufgabe zu verstehen:

Gegeben ist

 $$ ƒ(n) = g(n) + 4 sin( \frac{nπ}{2}) $$

und

$$g(n) = \frac{2-5n}{2n+1} $$

Nachdem bewiesen wurde das g(n) streng monoton fallend ist sollen das Supremum und Infimum und gegeben falls Maximum und Minimum der Folge F={ƒ(n) : n∈ℕ} bestimmt werden.

Das die sinus funktion alterniert kommt für den hinteren Teil von ƒ -4,0,4 raus.

g(n) konvergiert gegen $$   \frac{-5}{2} $$. Somit ist das Infimum $$ \frac{-5}{2}  -4 =  \frac{-13}{2} $$

Bis hierhin verstehe ich alles, aber die nächste Aussage verwirrt mich:

"Die Folge hat kein Minimum da g streng monoton fallend ist". Kann mir das jemand erklären? Wieso ist das so? Kann mann die alternierende Teilfolge hier unbeachtet lassen?

Danke und Gruß,

DunKing

Answer 1

Hallo DunKing,

die stetige Funktion  g₂: ℝ⁺ → ℝ  ;   x ↦ (2-5x) /  (2x+1)  hat die Ableitung

g₂^'(x)  =  - 9/(2·n + 1)² < 0

Deshalb sind g₂ und damit die Folge g(n)  streng monoton fallend.

g(1) = -1 ist negativ

Die Werte der Folgenglieder -4 des zweiten Summanden der Folge f(n) werden also mit wachsendem n durch den 1. Summanden g(n) immer stärker vermindert.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

kann man den allgemein behaupten, dass wenn eine Folge streng monoton fallend ist, sie kein Minimum hat? Gilt das dann auch für andersrum für das Maximum?

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Kann man den allgemein behaupten, dass wenn eine Folge streng monoton fallend ist, sie kein Minimum hat?
Mit "streng monoton wachsend" gilt das auch für Maxima.

Zweimal ja.