Aufgabe
Sei X eine endliche Menge mit n Elementen,
und sei Y eine endliche Menge mit m Elementen.
(1) Wie viele Funktionen von X nach Y gibt es ? = m^{n}
(2) Wie viele injektive Funktionen von X nach Y gibt es ?
(3) Wie viele bijektive Funktionen von X nach Y gibt es ?
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(2) Zuerst dachte ich dass die Antwort 0 wäre.
Aber ich betrachte ich den Fall, dass n<m.
Wenn die Menge X n Elemente hat, und n kleiner m ist, dann könnten einzelne Elemente x mit einzelnen Elementen y verbunden sein mit der Eigenschaft dass
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
gilt.
Allerdings wäre es dann nicht eine Abbildung von X nach Y die die gesamten Mengen betrachtet sondern eine Teilmenge von X könnte dies erfüllen.
Problem:
Und jetzt komme ich nicht weiter...
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(2) Es muss gelten, dass
f-1(Y) = X
Das ist nur möglich wenn IXI = IYI also n=m ist.
Ist aber n≠m dann ist auch
f-1(Y) ≠ X.
Und somit wäre f keine surjektive Abbildung von X nach Y und die Antwort dann 0.
Aber ich kriege keine Antwort auf die Frage wieviele es sind.
Problem:
Ich bin mit meiner Argumentation unsicher.
