Dreieck soll gleichschenklig und rechtwinklig sein: 2 Ansätze. Einer von 2020

Question

Die Aufgabenstellung lautet: Bestimme Punkt C so, dass das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig ist.
A(1/1) und B(4/5)
Zuerst hab ich den Vektor AB berechnet : (3/4)
Dann hab ich den Betrag ausgerechnet um die Länge der Strecke zu bekommen, der wäre 5
Als nächstes hab ich mir überlegt den Mittelpunkt von AB zu berechnen, um daraus eine Gleichung bilden zu können die die Othogonalität beweist. Der Mittelpunkt liegt bei (2,5/3)
Jetzt weiß ich nicht weiter, soll ich eine Geradengleichung bilden? Aber wie bring ich das mit der Gleichschenkligkeit in Verbindung? Steh grad irgendwie aufm Schlauch... Vielleicht ist mein Ansatz nicht mal richtig.

Version 2020:

Bestimme die Koordinaten eines Punktes C so, dass das Dreieck ABC mit A(1|1) und B(4|5) rechtwinklig und gleichschenklig ist.

Ich habe von hier verstanden:

Bedingungen:

1) Vektor AC * Vektor AB = 0

2) Betrag von Vektor AC entspricht Betrag von Vektor BC

Weiter weiß ich leider nicht ich wollte erstmal einen punkt C konstruieren der rechtwinklig ist, aber ich weiß nicht wie man das mit gleischenklig macht. hat jemand idiotenfreundliche rechnungen? :| DANKE!

Comments

Version 2020

Titel: Einen Punkt C finden, der das Dreieck ABC rechtwinklig und gleichschenklig macht

Stichworte: rechtwinkliges-dreieck,gleichschenklig,vektoren,geometrie

Bestimme die koordinaten eines punktes C so, dass das Dreieck ABC mit A(1|1) und B(4|5) rechtwinklig und gleichschenklig ist.

Ich habe von hier verstanden:

Bedingungen:

1) Vektor AC * Vektor AB = 0

2) Betrag von Vektor AC entspricht Betrag von Vektor BC

Weiter weiß ich leider nicht ich wollte erstmal einen punkt C konstruieren der rechtwinklig ist, aber ich weiß nicht wie man das mit gleischenklig macht. hat jemand idiotenfreundliche rechnungen? :| DANKE!

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1) Vektor AC * Vektor AB = 0

2) Betrag von Vektor AC entspricht Betrag von Vektor BC

Die beiden Bedingungen widersprechen sich.

1) bedeutet: Rechter Winkel bei A.

2) bedeutet: Rechter Winkel bei C.

Beides geht aber nicht.

Answer 1

Der_Mathecoach hat schon angedeutet, dass es mehr als eine Lösung gibt, wenn nicht angegeben ist, in welchem Punkt der rechte Winkel liegen soll. In Summe gibt es drei Lösungen, wenn man annimmt, dass \(\triangle ABC\) 'positivdrehend' ist. D.h. läuft man durch die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) in dieser Reihenfolge, so führt man eine positive Drehung aus  - und mathematische positiv wäre links drehend. Lässt man negativ drehende Dreiecke zu, so gäbe es sechs Lösungen.

Oben siehst Du die drei Lösungen \(\triangle ABC_1\) bis \(\triangle ABC_3\). Um eine  der drei Lösungen zu berechnen, benötigt man einen der drei roten Vektoren \(\vec{M_cC_1}\), \(\vec{AC_2}\) oder \(\vec{BC_3}\). Da alle drei Vektoren senkrecht auf der Gerade durch \(AB\) stehen, benötigt man einen Algorithmus, der einen Vektor im 'rechten Winkel umklappt'. Das ist:

$$\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \space \rightarrow \begin{pmatrix} -y \\ x\end{pmatrix}$$ d.h. man vertauscht beide Koordinaten und negiert die neue X-Koordinate . Probieren wir es gleich an \(\vec{AB}\) aus:

$$\vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 4 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix} \space \rightarrow \vec{AC_2} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Schau auf die Skizze; Um von \(A\) nach \(C_2\) zu kommen, läuft man 4 Kästchen in negative X-Richtung und 3 in positive Y-Richtung. Folglich ist $$C_2 = A + \vec{AC_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4\end{pmatrix}$$

Genauso kann man bei den anderen Punkten vorgehen. \(M_c\) sei der Mittelpunkt der Strecke \(AB\): $$\vec{AM_c} = \vec{M_cB} = \frac12 \vec{AB} = \frac12 \begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 2\end{pmatrix} \\ \rightarrow \vec{M_cC1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1,5\end{pmatrix} \\ C_1 = A + \vec{AM_c} + \vec{M_cC1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1,5 \\ 2\end{pmatrix}  + \begin{pmatrix} -2 \\ 1,5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 4,5\end{pmatrix}$$ Und \(C_3\) schaffst Du alleine - oder?

Gruß Werner

Answer 2

Sind da nicht mehrere Möglichkeiten denkbar, je nachdem in welchem Punkt der rechte Winkel ist.

Also z.B. so

Comments

Ja das stimmt. Aber es muss doch eine Möglichkeit geben diese Aufgabe rechnerisch zu lösen... und das möcht ich gerne herausfinden und verstehen.

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Leider hat dir Werner eigentlich schon alle Denkarbeit in seinem Beitrag abgenommen.

Senkrecht zu [x, y] ist nicht nur [-y, x] sondern übrigens auch [y, -x].

Answer 3

Der rechte Winkel kann bei A oder B oder C liegen. Damit gibt es noch einige mehr Möglichkeiten.

Answer 4

Wenn AC = CB werden soll, muss C auf der Mittelsenkrechten von AB liegen.

MP ist ( 2,5 ; 3 ) . AB hat die Steigung 4/3 , also dazu senkrecht -3/4.

Dann hat die Mittelsenkrechte die Gleichung y = (-3/4)*x + n und MP ergibt

    3 =  (-3/4)*2,5 + n   ==>  n= 39/8 = 4,875 .

Wenn AB die Hypotenuse werden soll gilt für die Kathetenlänge x

   x^2 + x^2 = (4-1)^2 + (5-1)^2 = 25

         also x = √12,5

Da C (x,y) auf der    Mittelsenkrechten liegt  gilt

    (  (-3/4)*x + 4,875 - 1 ) ^2  +  ( x-1) ^2 = 12,5

also x = 1/2 oder x=9/2 .

Comments

gibt es auch einen einfacheren weg mit vektoren?

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Wenn AC = AB werden soll, muss C auf der Mittelsenkrechten von AB liegen.

Das ist falsch. A müsste auf m_BC liegen.

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es gab einen ähnlichen thread da hat jemand auch eine dreidimensionale skizze eingeführt nur habe ich die rechnung teilweise nicht nachvollziehen können. warum mit mittelsenkrechten und 3x C punkten arbeiten wenn 1) nur EINE C koordinate gefragt ist und 2) warum geht man nicht einfach von einem Quadrat

Meine Idee war halt

kann ich nicht die bedingungen für ein Quadrat aufstellen und dann die Diagonale berechnen, weil dann habe ich ja theortetisch Vektor BC ?

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Geht sicher auch.

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ich weiß aber nicht wie eine rechnung so mit vektoren aussieht :/

ich hab mir mal den thread https://www.mathelounge.de/572942/dreieck-soll-gleichschenklig-und-rechtwinklig-sein angeguckt und ich hab jetzt verstanden wie AB gekippt worden ist aber warum sind die lösungen ABC1 bis ABC3? ich meine ich such doch nur 1 C bzw. den richtungsvektor BC der gleichlang wie AB ist und das C muss so groß sein das es mit A ein rechten winkel bildet?

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ich versteh in dem thread nicht warum AC1 = AC2 ist?

Und warum gibt es dann aufeinmal 2x Vektoren für C1 ?

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Vom Mittelpunkt M der Strecke AB kannst du entweder nach links oder nach rechts gehen. Daher gibt es zwei Möglichkeiten für C.

Answer 5

Aus der Aufgabenstellung geht nicht hervor, welche beiden Seiten gleichlang sein sollen und wo der rechte Winkel sein soll.

Wenn der rechte Winkel bei C liegt, bestimmen wir zunächst den Mittelpunkt M von AB.

\(A(1|1); B(4|5); \overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{AM}=0,5\cdot\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1,5\\2 \end{pmatrix} \)

\(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM} = \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1,5\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,5\\3 \end{pmatrix} \)

Nun gehen wir von M aus senkrecht zu AB mit der gleichen Länge wie AM, bzw. wir suchen die Eckpunkte eines Quadrats mit der Diagonalen AB.

\(\overrightarrow{MC_1} = \begin{pmatrix} 2\\-1,5 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC_1} = \begin{pmatrix} 2,5\\3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\-1,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4,5\\1,5 \end{pmatrix} \)

\(\overrightarrow{MC_2} = \begin{pmatrix} -2\\1,5 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{OC_2}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC_2} = \begin{pmatrix} 2,5\\3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2\\1,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,5\\4,5\end{pmatrix} \)

\(C_1(4,5|1,5); C_2(0,5|4,5)\)

Wenn die Eckpunkte gegen den Uhrzeigersinn mit A, B, C bezeichnet werden, ist \(C_2\) der gesuchte Punkt.