Prüfen, ob ein Dreieck gleichschenklig oder rechtwinklig ist

Question

Wie kann ich rechnerisch prüfen, ob ein Dreieck gleichschenklig oder rechtwinklig ist?

Z.b

A (4|4|4) B (10|10|7) C (7|4|1)

A (6|2|8) B/3|6|3) C (2|6|8)

A(1|1|2) B(3|1|2) C (2|2|3)

A(6|2|8) B(2|6|8) C (3|6|3)

A(0|2|4) B(3|8|2) C(7|4|1)

Wir sollen einen Weg finden, wie man bestimmen kann, ob ein Dreieck gleischenklig oder rechtwinklig ist.

ich bräuchte jeweils ein Beispiel, damit ich verstehen kann, wie das geht, und es für die anderen selber berechnen kann. Ich erwarte also nicht, dass jemand mir für alle Beispiele eine Rechnung zeigt. Jeweils eine Beispielrechnung wäre aber super. Mir ist es egal, für welche Punkte ihr das macht, ich will halt das Prinzip verstehen.

Ich kann mir vorstellen, dass für rechtwinklige D. Satz des Pythagoras gelten muss, weiß aber nicht, wie ich es mit 3 Pkt. anwenden soll. Für die gleischenkliges habe ich keine Idee. Sind die dann gleichenkliges, wenn S.d.P nicht gilt? Oder prüft man das anders?
:)

Comments

Hallo jtzut,

weißt Du was ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist?

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hallo :)

nein, wir sind noch ganz am Anfang mit Vektoren

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nein, wir sind noch ganz am Anfang mit Vektoren

Schade - damit ließe sich die Aufgabe recht elegant lösen. Stelle alle Seitenvektoren \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) und \(\vec{CA}\) auf und bilde die drei Skalarprodukte \(\vec{AB} \cdot \vec{BC}\), \(\vec{BC} \cdot \vec{CA}\) und \(\vec{CA} \cdot \vec{AB}\). Ist eines der Produkte \(=0\), so liegt ein rechter Winkel vor. Und wenn zwei der Produkte gleich sind, so hast Du ein gleichschenkliges Dreieck.

Answer 1

A (4|4|4) B (10|10|7) C (7|4|1)

Betrachte die Seitenlägen

(siehe https://www.mathematik-oberstufe.de/vektoren/a/abstand-2p-in-r3.html )

√((4-10)^2 + (4-10)^2 + (4-7)^2 ) = √81=9

√((4-7)^2 + (4-4)^2 + (4-1)^2 ) = √18

√((10-7)^2 + (10-4)^2 + (7-1)^2 ) = √81 =9

also zwei Seiten der Länge 9 ==> Dreieck gleichschenklig.

Und Pythagorasgleichung gilt nicht, also nicht rechtwinklig.

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okay also im grunde allgemein berechnet man  Wurzel aus (( x1-x2 )^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2) um eine Seite zu bestimmen im 1. Schritt
Wie wäre es für den Schritt 2? Ich kann's nicht so gut überblicken, da der Punkt A alle 3 Koordinaten 4 hat :(

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Ok doch nicht ich merke gerade, dass ich den 3. Pkt gar nicht berücksichtig habe, wo ich das versucht habe, es allgemein zu formulieren...ups

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ist es vielleicht, x1- x2 dann x1-y2 und x1-z2 im 1. Schritt?

und dann x1-x3 und x1-y3 und x1-z3 im 3. Schritt

und im 3.Schritt x2-x3 y2-y3 und z2-z3?

kann man das allgemein so berechnen?

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hallo also ich habe es mir nochmal überlegt und glaube dass die Formeln so Sinn machen:

x1-x2 y1-y2 z1-z2

x1-x3 y1-y3 z1-z3

x2-x3 y2-y3 z2-z3

dann hätte ich für A (6|2|8) B(3|6|3) C (2|6|8) als Aussage, dass das Dreieck nicht gleichschenklig ist, da ich für eine seite 7.07 raus habe,und für die anderen 2 5.66 und 5.099

stimmt das?

Answer 2

Wie kann ich rechnerisch prüfen, ob ein Dreieck gleichschenklig ... ist?

Berechne die Seitenlängen. Wenn zwei von ihnen gleich lang sind, ist es gleichschenklig.

Wie kann ich rechnerisch prüfen, ob ein Dreieck ... rechtwinklig ist?

Berechne seine Innenwinkel (wenn einer 90° ist, ist es rechtwinklig) oder prüfe, ob die drei Seitenlängen die Gleichung zum S.d.P. erfüllen.

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Hallo und wie kann ich die Seitenlängen berechnen, wenn ich 3 Koordinaten habe? Gibt es eine Formel dafür?

Answer 3

A (6|2|8) B/3|6|3) C (2|6|8)

|AB| = |[3, 6, 3] - [6, 2, 8]| = √((3 - 6)^2 + (6 - 2)^2 + (3 - 8)^2) = 5·√2 = 7.071

|AC| = |[2, 6, 8] - [6, 2, 8]| = 4·√2 = 5.657

|BC| = |[2, 6, 8] - [3, 6, 3]| = √26 = 5.099

nicht gleichschenklig

(4·√2)^2 + √26^2 = (5·√2)^2 → falsch

daher auch nicht rechtwinklig