Wurzel von der Wurzel lösen..

Question

Ich sitze vor folgender Gleichung und soll die Lösungsmenge (x Element R) bestimmen. Habe jedoch leider keine Idee wie ich anfangen könnte, bzw. fortfahren soll :D wäre nett wenn mir jemand helfen könnte

$$\sqrt{x\sqrt{x}-x} + \sqrt{x} = x$$

Tut mir leid, dass die Gleichung in mehreren Zeilen ist. Muss irgendwie verschoben worden sein.. 

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Ich habe das mal in eine Zeile gepackt.

Answer 1

√(x√x-x)=x-√x

beide Seiten quadrieren

x√x-x=x²-2x√x+x alle Wurzeln auf eine Seite

3x√x=x²+2x

beide Seiten quadrieren

9x3=x⁴+4x³+4x²

Zusammenfassen und ausklammern

0=x²(x²-5x+4)

x1=0  x²-5x+4=0

          quadratische Gleichung lösen

Pobe machen.

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Super danke, ich glaube ich habe grade ein Brett vor dem Kopf.. wie kommst du auf diese Lösung der rechten seite der Gleichung nachdem du das zweite mal quadriert hast? 
Ich hätte nur ….. = x⁴+ 4x² hingeschrieben 

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Ups, binomische Formel komplett ignoriert :D 
Habs verstanden, danke!!!

Answer 2

ich würde so vorgehen:

$$\sqrt{x\sqrt{x}-x}+\sqrt{x}=x$$

$$\sqrt{x}=u$$

$$\sqrt{u^2\cdot u-u^2}+u=u^2\\\sqrt{u^2\cdot u-u^2}=u^2-u\quad\mid(...)^2\\u^3-u^2=(u^2-u)^2\\u^3-u^2=u^4-2u^3+u^2\\u^4-3u^3+2u^2=0\\u_{1}=2\\u_{2}=1\\u_{3}=0$$

Durch Resubstitution:

$$x=u^2$$

$$x_{1}=0\\x_{2}=1\\x_{3}=4$$

Gruß

Smitty

Answer 3

offenbar gilt $$\underline{x=0}\quad\text{oder}$$ $$\sqrt{x\sqrt{x}-x} + \sqrt{x} = x \quad\vert\quad :\sqrt{x}\ne 0 \\ \sqrt{\sqrt{x}-1} + 1 = \sqrt{x} \quad\vert\quad -1 \\ \sqrt{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x} - 1 \quad\vert\quad (\cdot)^2 \\ \sqrt{x}-1 = \left(\sqrt{x} - 1\right)^2 \quad\vert\quad -\left(\sqrt{x} - 1\right)^2 \\ \sqrt{x}-1 - \left(\sqrt{x} - 1\right)^2 = 0 \\ \left(\sqrt{x} - 1\right)\cdot\left(1 - \left(\sqrt{x} - 1\right)\right) = 0 \\ \sqrt{x} - 1 = 0 \quad\text{oder}\quad \sqrt{x} - 1 = 1 \\ \sqrt{x} = 1 \quad\text{oder}\quad \sqrt{x} = 2 \\ \underline{x = 1} \quad\text{oder}\quad \underline{x = 4}.$$