Unendliche Folgen und Reihen

Question

komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, könnte mir jemand helfen?

1) Berechne die Längen der Rot eingezeichneten Sterecken?

2) Berechne die Gesamtlänge aller Strecken, die - immer kleiner werdend -auf die Gleiche Art eingezeichnet werden können. a) a = 1m, alpha = 60° b) a = 25cm, alpha = 45°

Das Bild dient lediglich zur Verständnis:

Answer 1

Könnte folgendes gelten:

b1 = a·SIN(α)

b2 = b1·COS(α)^2

b3 = b2·COS(α)^2

Comments

aber wie kommen Sie auf b2 = b1·COS(α)2

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Nenne mal die schwarze Höhe zwischen b1 und b2 einfach x. Dann gilt

COS(α) = x / b1 --> x = b1 * COS(α)

sowie

COS(α) = b2 / x --> x = b2 / COS(α)

also gleichsetzen

b2 / COS(α) = b1 * COS(α)

b2 = b1 * COS(α)^2

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Aber Sie meinen mit winkel Alpha schon den Winkel, welcher in meiner Skizze der Winkel Beta ist oder?

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Ja. Du weißt schon, dass es egal ist ob ich α oder β schreibe solange α = β gilt, oder?

Answer 2

sin(α)=b_1/a ---> b_1 = sin(α)*a

b_2=sin(α)*a'=sin(α)(a-c), c=b_1*sin(α)

b_2 = sin(α)*(a-b_1sin(α))=b_1-b_1sin^2(α)=b_1(1-sin^2(α))=b_1*cos^2(α)

---> Rekursion: b_{n+1}=b_{n}cos^2(α), b_{1}=a*sin(α)

Explizite Gleichung:

b_{n}=a*sin(α)(cos^2(α))^{n-1}

Gesamtlänge (ist eine geometrische Reihe)

L=∑(n=1 bis ∞)b_{n}=a*sin(α)∑(n=1 bis ∞) cos^2(α))^{n-1}=a*sin(α)/(1-cos^2(α))=a*sin(α)/sin^2(α)=a/sin(α)