Varianz Beispiel - Rendite

Question

Es seien X,Y die Renditen zweier Wertpapiere, wobei σ2x=0.2, σ2y=0.3 und σxy=−0.2. Ermittlen Sie das Portfolio, dessen Rendite die kleinste Varianz besitzt. Wie hoch ist die Varianz der Rendite des optimalen Portfolios?

Wie berechne ich die Varianz des Portfolios?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Varianz - Rendite zweier Wertpapiere

Stichworte: varianz

Ein Investor möchte aus den zwei Wertpapieren A und B, deren Renditen unabhängige Zufallsgrößen sind, ein Portfolio bilden. Die Standardabweichungen der Renditen sind ihm bekannt: σ(RA)=0.7 und σ(RB)=0.8. Wie muß er den Kapitalanteil des Wertpapiers A am Portfolio wählen, sodass das Anlagerisiko minimal wird?

Hat jemand bitte einen Rechenweg für mich?

Answer 1

Ich denke Du musst folgendes Problem lösen.

Das Portfolio setzt sich aus $\alpha \%$ Aktien mit der Rendite $x$ und $\beta \%$ Aktien mit der Rendite $y$ zusammen, und es gilt $\alpha + \beta = 1$

Die Varianz der Rendite dieses zusammengesetzten Portfolios ist die Varianz von

$$z = \alpha x + \beta y$$ Also $$\sigma_z^2 = \alpha^2 \sigma_x^2 + \beta^2 \sigma_y^2 + 2 \alpha \beta \sigma_{xy}$$

Die Varianz $\sigma_z^2$ ist also zu minimieren unter der Nebenbedingung $\alpha + \beta = 1$

Die Lagrangefunktion ergibt sich damit zu $$L(\alpha, \beta) = \alpha^2 \sigma_x^2 + \beta^2 \sigma_y^2 + 2 \alpha \beta \sigma_{xy} + \lambda ( 1 - \alpha - \beta)$$

Daraus folgen die Gleichungen

$$(1) \quad L_{\alpha} = 2 \alpha \sigma_x^2 + 2 \beta \sigma_{xy} - \lambda = 0 \\ (2) \quad L_{\beta} = 2 \beta\sigma_y^2 + 2 \alpha \sigma_{xy} - \lambda = 0 \\ (3) \quad 1 - \alpha - \beta = 0$$

Die Lösungen lauten

$$\alpha = \frac{ \sigma_y^2 - \sigma_{xy} } { \sigma_x^2 +\sigma_y^2 - 2 \sigma_{xy} } \\ \beta = \frac{ \sigma_x^2 - \sigma_{xy} } { \sigma_x^2 +\sigma_y^2 - 2 \sigma_{xy} }$$

Damit ergibt sich $$\sigma_z^2 = \frac{ \sigma_x^2 \sigma_y^2 - \sigma_{xy}^2 } { \sigma_x^2 +\sigma_y^2 - 2 \sigma_{xy} }$$

Jetzt noch die entsprechenden Zahlen einsetzten ergibt $$\sigma_z^2 = 0.022$$