eine Lösung für 3.Wurzel aus (2+2i) ist auch (-1+i).Wie kommt man da hin?

Question

Es werden Lösungen für die 3. Wurzel aus (2+2i) angeboten, jedoch nicht die simple Lösung (-1+i). Wie kommt man auf diese?

Answer 1

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Answer 2

Wenn du alle 3. Wurzeln von einer komplexen haben willst,

bestimmst du am besten erst mal arg(z).

Hier arctan(2/2) = 45° bzw. pi/4

Also hat eine 3.Wurzel das Argument  45° : 3 =  15° bzw  pi/12.

und die anderen beiden   (360°+45°):3 = 125°

und   (720°+45°) : 3 = 255°

Der Betrag von 2+2i ist  √(2^2 +2^2) = √8 , also haben die Wurzeln

den Betrag √2.  Dann sind die drei Wuirzeln

z1= √2 * ( cos(15°) + i *sin(15°)) = (1+√3)/2 + i * (-1 + √3)/2   und

z2=√2 * ( cos(125°) + i *sin(125°)) = -1 + i   und

z3 =  √2 * ( cos(255°) + i *sin(255°) = (1-√3)/2   -    i * (1 + √3)/2  

Answer 3

Ohne Trigonometrie:

Du suchst also diejenigen komplexen Zahlen z=a+b*i, für die z³=2+2i gilt.

Mit dem Ansatz z=a+b*i folgt also

z³=a³+3a²*bi+3a*(bi)²+(bi)³.

Das lässt sich wegen i²=-1 schreiben als

z³=a³+3a²*bi-3a*b²-bi, 

und wenn man das nach Real- und Imaginärteil sortiert, ist das

z³=(a³-3a*b²)+(3a²*b-b)*i .

Da z³=2+2i gelten sollte, muss z³ den Realteil 2 auch auch den Imaginärteil 2 haben.

Somit ergeben sich für die Lösungen die beiden Forderungen

a³-3a*b² = 2  und 

3a²*b-b = 2.

Löse dieses Gleichungssystem. Die drei Lösungen (a,b) führen zu den drei gesuchten Wurzeln.

Answer 4

  Übrigens; was bisher noch nicht angesprochen wurde.  Schon seit Langem ist ein Rechenverfahren bekannt,  Kosinus und  Sinus von 15 elementar exak anzugeben  ===>  Wiki das stark den von mir beschriebenen " Wurzelwurzeln "  ähnelt .  Winkel Halbieren entspricht ja der Quadratwurzel  ( z.B. aus 60 °  , das wären 30 ° )  Und wenn du aus 30 nochmal die Wurzel ziehst, ist das praktisch die " Wurzel aus der Wurzel " oder eben die Wurzelwurzel.    Zunächst hast du mal den Pythagoras

          cos  ²  (  15  )  +  sin  ²  (  15  )  =  1        (  1a  )

      Aus dem Sinusteorem ( ===> Additionsteoreme )  folgt

    2  cos  (  15  )  sin  (  15  )  =  sin  (   30  )  =  1/2           (  1b  )

     Fällt dir zufällig auf, dass ( 1b ) die quadratische Ergänzung von ( 1a ) ist?     Das Additionsverfahren ( 1a ) + ( 1b )   führt auf die erste binomische

     [  cos  (  15  )  +  sin  (  15  )  ]  ²  =  3/2  =  6/4    |   sqr        (  2a  )

    cos  (  15  )  +  sin  (  15  )  =  1/2  sqr  (  6  )       (  2b  )

     Jetzt ganz symmetrisch Subtraktionsverfahren  ( 1a ) - ( 1b ) , entsprechend der 2. binomischen

     [  cos  (  15  )  -  sin  (  15  )  ]  ²  =  1/2  =  2/4                (  3a  )

    cos  (  15  )  -  sin  (  15  )  =  1/2  sqr  (  2  )        (  3b  )

    Zu lösen ist das  LGS  (  2b;3b  )  ; die Lösung ist immer die selbe:

     cos  (  15  )  =  aritm.   Mittelw.  =  1/4  [  sqr  (  6  )  +  sqr  (  2  )  ]       (  4a  )

     cos  (  15  )  =  halbe Diff.  =  1/4  [  sqr  (  6  )  -  sqr  (  2  )  ]      (  4b  )