komplexe Exponential Gleichungen (1 - sin(2z))/2 = cos^2(z- (pi/4))

Question

ich stehe vor einem Problem. Ich weiss nicht wie man folgende Aufgabe nach Real und Imaginärteil lösen soll.

Hoffe ihr könnt mir dabei helfen.

VG :)

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

Wenn nicht ,stelle bitte die Orginalaufgabe ein.

Comments

Die Aufgabe soll wie bei einer normalen Gleichung nach x hier aber nach der Unbekannten z aufgelöst werden. Was mir bei dir direkt aufgefallen ist, du hast nach der ersten Zeile auf der rechten Spalte aus cos^2(z-(pi/4)) -> cos^2((pi/4) - z) gemacht. Warum geht das und die linke Seite. An das Additionstheorem habe ich auch bereits gedacht aber irgendwie komm ich nicht darauf. kannst du mir das an der Stelle bitte erklären ?

VG :)

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Weil allgemein gilt:

cos(-z)= cos(z)

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Kannst du mir denn noch die linke seite erklären wie du von

(1-sin(2z))/(2) auf sin^2(pi/4 - z) kommst.

VG :)

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So direkt die nächste Frage. Undzwar wie kommst du von der zweiten Zeile auf die dritte Zeile. Ab der vierten Zeile ist es mir klar, du willst es in ein binom umformen, dann entsteh auch das quadrat aber wie du hier von

1/2 - sin(z)cos(z)

Auf

(1/2)*cos^2(z) - (1/2)cos(z)sin(z) - (1/2)*cos(z)sin(z) + (1/2)*sin^2(z)

Kommst.

Hast du das hier auf ein Quadrat ergänzt ? Wenn ja, kannst du mir das noch erklären wie du das gemacht hast?

VG :)

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Ich glaube ich habe es jetzt verstanden.

Wenn ich (1  - sin(2z))/2 in Additionssätze schreiben möchte dann muss ich schon wissen was 1 ist. Da hast du dann die (1/2) * 1- sin(2z) wie folgt hingeschrieben. 1 ist ja gleich sin^2(z) + cos^2(z) und sin(2z) ist 2*sin(z)*cos(z). wenn man das dann zusammenschreibt müsste dann erstmal

(1/2)*(cos^2(z) + sin^2(z) - 2sin(z)cos(z))

stehen.

Dann kann ich ja 2sin(z)*cos(z) auch als sin(z)cos(z) + sin(z)cos(z) schreiben.

Mit dem minus davor komme ich dann auf:

(1/2)*(cos^2(z) + sin^2(z) - sin(z)cos(z) - sin(z)cos(z))

Jetzt multipliziere ich die 1/2 rein und

trenne dann die beiden trig. Funktion mit Grad 2, damit es dann so hingeschrieben werden kann wie ein binom.

Also:

(1/2)*cos^2(z) - (1/2)*sin(z)cos(z) - (1/2)*sin(z)cos(z) + (1/2)*sin^2(z).

Jetzt kann ich den Term in Faktoren aufschreiben und komme dann auf

((Sqrt(2)/2)* cos(z) - (sqrt(2)/2)*sin(z)) *  ((sqrt(2)/2)*cos(z) - (sqrt(z)/2)*cos(z))

Und sqrt(2)/2 ist das Ergebnis wenn ich für den cos(x) und sinus(x) für x = pi/4 einsetze. Also kann ich da auch hinschreiben:

(sin(pi/4)*cos(z) - cos(pi/4)*sin(z))*

(sin(pi/4)*cos(z) - cos(pi/4)*sin(z)) und jetzt sehe ich direkt da steht das selbe zwei mal da sowie ein Additionstheorem:

sin(z+-w) = sin(z)cos(w)+-cos(z)sin(w) ->

sin(pi/4 - z) * sin(pi/4 - z) 

Und das ist das selbe,  wie

sin^2(pi/4 - z)

Ich hoffe ma, dass ich es korrekt wiedergegeben habe.

VG :)