Grenzwerte berechnen lim x→∞ (1+(1/3n))^{2n}

Question

Hallo !

kann jemand mir bitte helfen und sagen , wie man folgende Grenzwerte berechnen kann ?

n element N , x element R \( -1, 1 )

1)

$$ \lim\limits_{x\to\infty} (1+(1/3n))^{2n} $$

2) $$ \lim\limits_{x\to\infty} ln(x)ln(1-x) $$

Es wäre sehr nett wenn die Antwort mit vollständigem Lösungsweg ist .

!

Comments

Für x gegen unendlich ist der 2. Ausdruck gar nicht definiert.

---

ja das ist , was mich verwirrt ! aber ich habe mich nicht verschrieben oder was ! es war echt so in einer Klausur !

---

Die zweite Aufgabe ist so gar nicht beantwortbar, da fehlerhaft.

Es kann höchsten nach dem Grenzwert x-->1 gefragt werden. Oder Du fängst mit komplexen zahlen an und schummelst

ln(x)ln(1-x)=ln(x)*(ln(-1)+ln(x-1)) =ln(x)*(i*π/4+ln(x-1))

Das wird aber nicht Sinn der Aufgabe sein.

Answer 1

      2) ist besonders apart

      x  =  1  ===>  ln  (  1  -  x  )  =  ln  (  0  )         (  1a  )

    x  >  1  ===>  z  :=  x  -  1  >  0  ===>  ln  (  1  -  x  )  =  ln  (  -  z  )       (  1b  )

     Und in   1) vermengst du x und n ; ich will aber mal nicht so sein.   Das wäre jetzt der unbestimmte Ausdruck  1  ^ (  °°  )

      Der Standardtrick in so Fällen ist die  ===>  Inversion am Einheitskreis:

       z  :=  1 / x   ;  z  ===>  0         (  2  )

     

      Mit dieser Substitution wird dein Ausdruck

    G  (  x  )  =    G  (  z  )  =  (  1  +  1/3  z  )  ^  2/z    |  ln     (  3a  )

    Ein weiterer Trick; ich habe es schon angedeutet:  Logaritmieren, um uns der unübersichtlichen Potenzen zu entledigen.

     F  (  z  )  :=  ln  (  G  )  =  2/z  ln  (  1  +  1/3  z  )      (  3b  )

     Aber F in ( 3b ) ist doch nichts anderes als der Differenzenquotient  ( DQ )  der Funktion f

       f  (  z  )  :=  2  ln  (  1  +  1/3  z  )       (  4a  )

      genommen  zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z . Schlicht und ergreifend weil  f ( 0 ) = 0 . Und der Grenzwert dieses DQ für z ===>  0 , das wisst ihr,  ist genau  f  '  (  0  )

                                          2

          f  '  (  z  )  =    -----------------------------   =  2 /  (  z  +  3  )       (  4b  )

                                  3 (  1  +  1/3  z  )

             f  '  (  0  )  =  2/3         (  4c  )

    Jetzt langsam zum Mitschreiben. Wenn  in ( 3b )  die Funktion  F ,  sprich der Logaritmus von G gegen 2/3  geht  , dann geht G selbst wohl oder übel gegen e ^ 2/3  = cbrt  (  e  ²  )

    In anderem Zusammenhang  hatte ich schon mal den gespielt bösen Kommentar

     " Ja wenn man solche Aufgaben durch Transformation des Definitionsbereichs lösen kann / soll. 

     ' Zu Was '  lerne ich dann eigentlich noch Definitionsbereich? "

Comments

Danke für deine Antwort ,

ich hätte eine frage die ist zwar dumm aber na ja haha . Ist die frage eigentlich nicht falsch an sich? weil da ln(1-x) steht , d.h für x gegen unendlich wäre es ln(irgend eine negative zahl ) was undefiniert ist ! oder verstehe ich es falsch ?

und kann man es irgendwie mit L'hospital machen , indem man sagt , dass mal ln(x) nichts anderes als durch 1/ln(x) teilen ?

Danke !

---

     Ich  beschreite hier als Seiltänzer quasi einen schmalen Grat.  Weil wir hatten eine Dozentin, die Marianne, die wurde selbst von ihren Kollegen abgelöehnt.  ein Kollege meinte mal

    "  Die hat eben ein ganz fundamentales Teorem angesprochen.  Wetten -  du hast nicht mal mitgekriegt,  was überhaupt der Inhalt der Aussage ist?  Geschweige dass es wichtig ist  ... "

    Weil - Matematik ohne Retorik - ich finde das geht gar nicht. 

    Ich weiß ja nicht, woher meine Gene stammen.  Aber vom Temperament bin ich eher der bayrische Typ (  Klassenkamerad " Flicko "  witelte übrigens, der Ausdruck " Bayern "   sei unanständig; das heiße " Südpreußen " )

     Also der Bayer sagt lieber einmal zu viel als zu wenig " Herrschafts Seiten Kruzi Türken "

     Durch trübe Erfahrung gewitzigt,  habe ich hier aber mitgekriegt, dass hier offensichtlich die " neue Sachlichkeit " ausgebrochen ist, von der ich im Übrigen gar nichts halte.   Wäre vielleicht besser gewesen,   gegen diese Logaritmusfunktion hätte ich einen derben Kraftausdruck verwendet.

    Rein inhaltlich besagen ( 1ab ) nichts anderes, als dass der Definitionsbereich der Funktion y = ln ( 1 - x )   lautet

           (  (  -  °°  )  ;  1  )

     Damit kannst du den geforderten Grenzwert unmöglich bilden.

         Jetzt stehe ich irgendwie auf dem Schlauch.  Meinst du jetzt  mit  "  1  :  ln  ( x )  "    die erste oder die zweite Aufgabe?  Was nicht geht, geht nicht -  egal wie du es drehst oder transformierst.

     Ich sage immer:   Es wurden schon die tollsten Sächelchen bewiesen.  Aber es gibt kein einziges Gebiet der Matematik mit Exklusivitätsanspruch;  will sagen: Wenn jemand etwas bewiesen hat,  ist das noch lange nicht der Beweis,  dass man es nicht auch genau so gut ganz anders beweisen könnte.  Oder auch viel einfacher beweisen.

    Weil wenn du zu der zweiten Aufgabe einen Vorschlag hättest, wäre ich bereit, darüber nachzudenken.    Wirst lachen;  auf einem verwandten Gebiet - Wurzerln betreffend -  habe ich allererst von so einem Genie gelernt, wie man da die Grenzwerte findet.  Da kamenm schon aufgaben von einem Schwierigkeitsgrad - ohne diese Hilfestellung wäre ich da voll aufgeschmissen gewesen.

Answer 2

zu1)

Falls die Aufgabe so lautet:

lim(n->∞) (1 + 1/(3n))^{2 n} = e^{2/3} 

Comments

Hi ,

Danke für deine Antwort . Du hast es so umgeformt , dass du im Nenner 2n hast oder? kannst du bitte schreiben wie du es umgeformt hast ? also mit was du angefangen hast und so ,  weil wie ich es gemacht habe ist 2/3(3/2+1/2n)^2n aber dann habe ich daneben 3/2 und nicht 1 ^^

---

meine Berechnung:

---

danke sehr !

und für 2) hast du keine Idee ? ^^ weil ich habe gesagt es ist nichts anderes als durch 1/ln(x) teilen und dann mit l'hospital weitermachen aber dies ln(1-x) stört mich so sehr haha !

---

...............................

---

ln(1-x) ist doch für x gg.oo nicht definiert.

---

Das kann ich auch:

$$\lim\limits_{x\to\infty}x\frac{1}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}x\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\infty*\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}=\infty$$