Wir haben
\(r \, := \, \binom{r_1}{r_2}\) ===> r⊥r' ===> \(r' \, := \, \binom{r_2}{-r_1}\)
Die Spiegelung P' eines Punktes P würde ich dann schreiben als
\(P' \, := \, p - 2 \; \frac{ r' \;p}{r'^{2}} \; n\)
Beispiel: r=(2,1) und P=(4,0) ===> P'=(2.4,3.2)
Bilde die Basisvektoren {e1=(1,0),e2=(0,1)} ab mit r=(r_1,r_2)
\( Ao:= \left\{ e1 - 2 \; \frac{r' \;e1}{r'^{2}} \; r', e2 - 2 \; \frac{r' \;e2}{r'^{2}} \; r' \right\} \)
\( Ao=\left\{ \left(\frac{r_1^{2} - r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, 2 \; r_1 \cdot \frac{r_2}{r_1^{2} + r_2^{2}} \right), \left(\frac{r_1^{2} - r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, 2 \; r_1 \cdot \frac{r_2}{r_1^{2} + r_2^{2}} \right) \right\} \)
mit U: \( \left\{ \frac{r_1^{2} - r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, \frac{r_1^{2} + r_2^{2} - 2 \; r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, \frac{r_1^{2} + r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}} - 2 \cdot \frac{r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, 1 - 2 \cdot \frac{r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}} \right\} \)
\(Ao:=\left(\begin{array}{rr}-2 \cdot \frac{r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}} + 1&2 \; r_1 \cdot \frac{r_2}{r_1^{2} + r_2^{2}}\\2 \; r_1 \cdot \frac{r_2}{r_1^{2} + r_2^{2}}&-2 \cdot \frac{r_1^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}} + 1\\\end{array}\right)\)
Ao Spiegelung |Ao|=-1
Meine Matrix hat eine andere Diagonale als Deine, solte aber kein Problem sein - oder? Erweitere U mit r_1 - r_1 statt r_2 - r_2
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\(r \, := \, \binom{2}{1}\) ===> \(A_{21} \, := \, \left(\begin{array}{rr}\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\\end{array}\right)\) ==> A p = P'=(12/5,16/5)