Der Begriff " Vektorraum " ist in der Matematik sehr abstrakt definiert; das kann auch ein ===> funktionenraum sein oder ein Raum mit 4 711 Dimensionen.
wichtig ist immer die ===> Linearkombination. D.h. zwei Vektoren darfst du immer addieren; und du darfst einen Vektor mit einer ( skalaren ) Zahl malnehmen.
Für mich hatte das Kreuzprodukt schon immer etwas Beklemmendes; der Angelsachse spricht ja von " alkward structure " Es handelt sich um eine Rechenregel, nach der zwei Vektoren im |R ³ miteinander zu multiplizieren sind.
Mit eines der wichtigsten Gesetze ist ja das ===> Assoziativgesetz ( AG ) Es gilt z.B. für die Addition von Zahlen, aber auch von Vektoren
( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( 1 )
( Aus dem AG folgt z.B. , dass du eine Summe aus 4 711 Termen nicht klammern brauchst; es ist egal, wie du die Klammerm schachtelst. )
Oder nimm die Multiplikation eines Vektors v mit zwei Skalaren a und b; auch diese ist assoziativ: ( a b ) v = a ( b v )
Dagegen für das Kreuzprodukt gilt das AG NICHT ; ( a X b ) x c ist etwas völlig anderes als a X ( b X c ) Das Kreuzprodukt gehört viel mehr einem Typ von Algebra an, die man als ===> Lie_Algebra bezeichnet ( nach Sophus Lie )
Sein größter Nachteil: Es ist nicht ohne Weiteres ersichtlich, wie man es auf höher dimensionale Räume verallgemeinern könnte; und der Matematiker bevorzugt einfache Bildungsgesetze, bei denen sofort transparent ist, wie man sie verallgemeinert.
( Dies ist beispielsweise gegeben bei dem ===> Skalarprodukt. )
