Terme bzw. Bruch vereinfachen

Question

Wie vereinfache ich diesen Bruch hier?

$$ \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2} $$

Meine Idee:

der Zähler im Bruch ist nichts anderes als die 1. Binomische Formel,also (a+b)²

im Nenner des Bruchs haben wir die ausmultiplizierte Form der 3. Binomischen Formel

(a+b)*(a-b)=a^2-b^2

Folglich hat man

$$ \frac{(a+b)^2}{(a+b)*(a-b)} $$

Anschließend habe ich gemäß des Spruchs "Aus Summen kürzen nur die Dummen" die (a+b)^2 aus dem gesamten Bruch herausgeholt => Faktorisierung

$$ (a+b)* \frac{(a+b)}{(a+b)*(a-b)} $$

Durch die faktorisierte Version bzw. durch die Bildung eines Produkts habe ich den Faktor (a+b) und im Nenner (a+b) gekürzt, sodass mir übrig blieb:

$$ \frac{a+b}{a-b} $$

Comments

Sie gut aus.

Answer 1

Das ist genau richtig. Aber eine Anmerkung:$$\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{(a+b)(a+b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a+b}{a-b}$$ Du musst es nicht vor den Bruch schreiben.

Comments

Ist es denn mathematisch gesehen falsch, wenn man den Wert vor dem Bruch schreibt?

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Nein, das ist es keineswegs. Es gilt:$$a\cdot \frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Answer 2

Der Spruch "Aus Summen kürzen nur die Dummen" bezieht sich auf diesen Fall:(a+b)/(a+c) darf nicht zu b/c "gekürzt" werden. Ganze Summen, die als Faktor in Zähler und Nenner vorkommen, darf man durchaus herauskürzen: 3(a+b)/(a+b)=3