Nach der Sturmschen Kette gibt es 6 Nullstellen im Intervall \(-\infty<x≤\infty\). Das heißt, dass es ein Polynom mit auschließlich reellen Nullstellen ist., weshalb wir das Intervall wie folgt einschränken können:$$x _ { 1,2 } = - \frac { a _ { n - 1 } } { n } \pm \frac { n - 1 } { n } \sqrt { a _ { n - 1 } ^ { 2 } - \frac { 2 n } { n - 1 } a _ { n - 2 } }$$$$-\frac{-193}{6}\pm\frac{5}{6}\sqrt{(-193)^2-\frac{12}{5}\cdot (-281879 )}$$ Daraus erhalten wir das Intervall \([736,202,-671,87]\), in dem alle Nullstellen liegen müssen. Das hilft weiter, da man die Teiler vom Absolutglied etwas einschränken kann und auf diese Weise schneller einen richtigen Teiler findet, meist \(x∈ℕ\). Als erstes sollte man dann nach ca. 15min probieren auf \(x_1=629\) kommen. Dann kannst du mit der Polynomdivision beginnen.
Es könnte außerdem das Bisektionsverfahren helfen, um das Intervall noch weiter zu optimieren. Wenn du die Polynomdivision zwei mal durchgeführt hast, dann kannst du es mit der Lösungsformel für quartische Gleichungen
lösen. (vgl. Wikipedia)
