Urbildmenge und Bildmenge

Question

Wie lauten die Definitions- und Wertebereiche der Funktionen?:

f(x)= 1/x

Mein Vorschlag:

Definitonsbereich: ℝ^≠0

Wertebereich: ℝ

und

f(x) = $$ \frac{x^2+1}{x-1} $$

Definitionsbereich: ℝ^≠1

Wertebereich: ℝ^≥5 und ℝ^≤-1

^{Ist der Ansatz richtig?}

Comments

Könnte mir jemand sagen, ob diese Schreibweise oben in meiner Rechnung falsch ist?

Answer 1

$$f(x)=\frac{1}{x} \quad |D_f=\{x∈ℝ|x≠0\} \quad W_f=\{y∈ℝ^*\}$$$$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1} \quad |D_f=\{x∈ℝ|x≠1\} \quad W_f=\{y∈ℝ|2\left(1-\sqrt{2}\right)≥y≥2\left(1+\sqrt{2}\right) \}$$

Comments

Ist denn meine Schreibweise falsch?

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Ich meine, mich an diese Schreibweise zu erinnern,

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Was soll das R* heißen?

Ich bin nicht an dieser Schreibweise gewohnt, deshalb frage ich..

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Alle reellen Zahlen ohne Null.

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Wf={y∈R|2(1−2–√)≥y≥2(1+2–√)}

Hätte man stattdessen auch schreiben können?:

Wf={y∈R| ℝ≥5 und ℝ≤-1 }

Bzw. ℝ≥5 ∧ ℝ≤-1

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Wenn du damit meinst, dass \(y\) die Werte größer gleich 5 und kleiner und kleiner gleich -1 aller Reellen Zahlen annehmen kann, dann nein.

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Wieso denn nicht? Wenn ich den Graph plotte, wird mir das so angezeigt

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Wenn du mir erklärst, wie du vorgegangen bist, dann kann ich dir helfen.

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Meine Erklärung:

Der Zählergrad ist um eine Einheit größer als der Nennergrad, weshalb die Funktion eine schiefe Asymptote besitzt.

Das heißt, dass wir leider eine Kurvendiskussion durchführen müssen, insbesondere die Extrema berechnen, um daraus auf die Wertemenge zu schließen.

Du leitest die Funktion also zwei mal ab, berechnest die Nullstellen der ersten Ableitung, setzt diese in die zweite ein, um Hoch- von Tiefpunkt zu unterschieden.

Daraus schließt du den Wertebereich.

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Habe mir nochmal den Graphen aufzeichnen lassen.

Es handelt sich um eine gebrochenrationale Funktion.

Wir haben eine Polstelle bei x=1.

In der Grenzbetrachtung geht der Graph im I.Quadranten ins positiv Unendliche und im 3./4. Quadranten ins negativ unendliche.

Habe die Tief und Hochpunkte der "zwei" Graphen anzeigen lassen, bei

x1= 4,83

und x2=-0,828

D.h. der

Df={x∈R|x≠1}

x≠1, weil man nicht durch 0 teilen darf

und Wertebereich:

Wf= {y∈R|y>4,83 und y<-0,828}

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Das sieht doch schon richtig aus! Es muss allerdings ≤ und ≥ heißen.

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Ich würde dir empfehlen, dich an die Mengenschreibweise zu gewöhnen, damit komme, zumindestens ich, gut zu recht.

Aufpassen bei den Bezeichnungen, hast du eine Funktion g(x), dann musst Du \(W_g\) und \(D_g\) schreiben.

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Kam zuerst aauf die y≥ und y ≤ 5 auf den Wertebereich, weil ich zuerst mit dem Auge auf den Graphen geschaut habe ohne wirklich etwas auszurechnen.

Die Frage ist nur, ob man das auch so schreiben kann:

Wf= {y∈R|y≥4,83 und y≤-0,828}

Weil Du hattest diese Intervallschreibweise Wf={y∈R|2(1−2–√)≥y≥2(1+2–√)}

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Halt nicht mit "und" sondern "Λ". Dann klappt's!

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Danke.

Also man könnte schreiben

Wf= {y∈R| R^≥4,83 ≥ y ≥ R ^≥-0,828}

| heißt doch unter der Bedingung, Einschränkung

und der Strich: / spiegelverkehrt meinen doch dasselbe, oder?

Und muss man ≥ und ≥ nochmal im Exponenten bei den reellen Zahlen schreiben?

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Wenn du es schon so schreiben willst, dann würde ich das so machen:$$W_f=\{y∈ℝ^{ ≥4.83}\vee ℝ^{ ≥0.828}\}$$ Gesprochen:

y element aus den Reellen Zahlen größer gleich 4.38 oder kleiner gleich als 0.828

Aber darauf kann ich keine Garantie geben.