Habe ich die Bild-und Urbildmenge von f(x)=cos x, X=[0,π/2] richtig gelöst?

Question

Ich habe eine Funktion und soll die Bildmenge sowie die Urbildmenge wiedergeben.

f(x)=cos x, X=[0,π/2]

Bildmenge habe ich so angefangen:

f(0)=cos(0) , cos(0)=1

f(π/2)=cos(π/2), cos(π/2)=0

Jetzt habe ich also bei der Bildmenge die Lösung f([0,π/2]) = {0,1}

Für die Urbildmenge:

f^-1(x)=cos x, cos x=0

Cosinus hat seine Nullstellen bei x ∈ {π/2+k*π, k∈ℤ}

für cos x = π/2 müsste cos x = 0 sein

Hier hätte ich dann also die Lösungen f^-1([0,π/2]) = {0,π/2+k*π Ι k∈ℤ}.

Meine Frage wäre jetzt, sind diese mathematisch korrekt dargestellt und vor allem auch richtig gelöst?

Answer 1

Jetzt habe ich also bei der Bildmenge die Lösung f([0,π/2]) = {0,1}

Das muss ................. = [ 0 ; 1 ] heißen. Das ganze Intervall.

Für die Urbildmenge von X musst du überlegen:

Für welche x-Werte liegt der Funktionswert in  X=[0,π/2] ?

Cos-Werte sind grundsätzlich in [-1 ; 1 ].

Also geht es um die Frage: Für welche x-Werte sind die

Funktionswerte in [0;1] ? Das ist für x ∈ [ - π/2 ; π/2 ] der Fall,

und dann immer um 2π weiter . Das wäre dann die Vereinigung aller

Intervalle der Form [ - π/2  + 2nπ; π/2+ 2nπ ] mit n ∈ℤ.

Comments

Wenn der Definitionsbereich auf X=[0,π/2] eingeschränkt ist:

Wieso sollte die Urbildmenge größer sein?

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Ach, das soll der Definitionsbereich sein. Ich hatte ℝ→ ℝ interpretiert,

und X war einfach die Menge von der man Bild bzw. Urbildmenge

bestimmen sollte.

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Ist denn dann das Urbild der Funktion

[ - π/2  + 2nπ; π/2+ 2nπ ] mit n ∈ℤ?