Bestimmen Sie f(R). Bild Urbild

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R definiert durch f(x) = x^2 − 2x − 2.

Bestimmen Sie f(R).
Problem/Ansatz

Kann mir jemand sagen was damit gemeint ist?

Was ist damit gemeint? Der komplette Wertebereich ?

Comments

Super danke, und das heißt zusätzlich das diese Funktion surjektiv ist?

Answer 1

Sei \(g:M\to N\) eine Funktion mit Definitionsmenge \(M\) und Wertemenge \(N\).

Sei \(T\subseteq M\).

Dann ist

        \(g(T) \coloneqq \left\{y\in N |\ \exists\,x\in T:\ g(x) = y\right\}\).

Comments

Kann man das auch ausrechnen?

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\(f(\mathbb{R}) = \left\{y\in \mathbb{R} |\ \exists\,x\in \mathbb{R}:\ x^2 - 2x - 2 = y\right\}\).

Lösungen der Gleichung

        \(x^2 - 2x - 2 = y\)

sind

        \(x=1-\sqrt{y+3}\)

und

        \(x=1+\sqrt{y+3}\).

Diese Lösungen existieren genau dann, wenn \(\sqrt{y+3}\) definiert ist, also wenn \(y \geq -3\) ist.

Das heißt es gibt genau dann ein \(x\in \mathbb{R}\) mit \(x^2 - 2x - 2 = y\), wenn \(y \geq -3\) ist. Damit ist

        \(f(\mathbb{R}) = \left\{y\in \mathbb{R} |\ y\geq -3\right\} = [-3,\infty)\).

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Natürlich hätte man auch ausrechnen können, dass \(f\) eine nach oben geöffnete Parabel mit Tiefpunkt \((1|-3)\) ist. Daraus kann man auch auf \(f(\mathbb{R}) = [-3,\infty)\) schließen.