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Aufgabe:

Hallo ihr Mathetiger,

wir beschäftigen uns gerade mit Konvergenzen von Reihen und ich soll zeigen, dass

$$c_{n} := \left( \sum_{j=-k}^{n} a_{j}b^{-j} \right) $$

konvergent ist.

Die Aufgabenstellung heißt im Detail:

Sei \( b \ge 2 \) und eine natürliche Zahl. Wir definieren die Folge

$$ c_{n} := \left( \sum_{j=-k}^{n} a_{j}b^{-j} \right) $$

wobei \( k \in \mathbb{N} \) und \( ( a_{j} ) \) eine Folge natürlicher Zahlen mit \( 0 \le a_{j} < b \) für \( j \in \mathbb{Z} \) mit \( j \ge -k \) vorgegeben sind. Zeigen Sie \( c_{n} \) ist konvergent.


Ich bin bisher stark davon ausgegangen, dass es sich um einen Ansatz mit der geometrischen Reihe handeln muss. Dafür habe ich die Summe in eine Summe von \( - \infty \) bis -1 und eine Summe von 0 \( bis \infty \) aufgeteilt. Allerdings weiß ich nicht genau weiter. :/

Hilfe wäre sehr willkommen :)

LG Syntax

Avatar von

Warum von -∞ bis -1?

-k ist irgendeine feste negative ganze Zahl, und von -k bis -1 gibt es nur k Summanden, die von einem wachsenden n unabhängig sind und nur einen festen Teilsumme beisteuern, die nichts mit dem wachsenden n zu tun hat.

Das macht total Sinn. Jetzt komme ich auch auf einen schönen Beweis, danke :)

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