Zeigen Sie, dass i=j oder i=-j

Question

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Aufgabe 3 (5 Punkte)
Sei \( K \) ein Körper und seinen \( i, j \in K \) so, dass
\( i^{2}=-1=j^{2} . \)

Zeigen Sie, dass \( i=j \) oder \( i=-j \).

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Wie kann ich dieses Problem lösen?

Answer 1

Betrachte das Polynom \(x^2+1 \in K[x]\).

Offenbar ist \(j\) eine Nullstelle dieses Polynoms.

Nun gilt

\(x^2+1 = (x-i)(x+i) \stackrel{j^2+1=0}{\Rightarrow} (j-i)(j+i)=0\)

Da K ein Körper ist, gibt es keine Nullteiler.

Daher gilt \(j=i\) oder \(j=-i\).