Konvergenz geometrische Reihe

Question

Aufgabe:

Ich will eine Reihe auf Komvergenz untersuchen. Und zwar

summe (Startwert bei k= 0 , bis unendlich) 3^(k+2)+1/4^k

Mein erster Ansatz war die Quotientenregel womit ich Konvergenz gezeigt habe und der Grenzwert ist 0.

Dann habe ich aber einen anderen Weg gefunden und zwar die Reihe in 2 geometrische Reihen aufzuteilen und die Summe zu berechnen, dann kommt bei mir aber 36+4/3 raus…

Könnte mir jemand sagen wo ich falsch liege?

Comments

Ist das so gemeint?

$$ \sum_{k=0}^\infty \left( 3^{k+2} + \left( \frac{1}{4} \right)^k \right) $$

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Ja fast, nur (3^(k+2) + 1 ) / 4^k

also die +1 im Zähler

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3^(k+2) = 3^2*3^k hat keinen Grenzwert

1/4^k hat den Summenwert: 1/(1-1/4) = 4/3

Answer 1

Ok, also so

$$ \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{ 3^{k+2}+1} {4^k } \right) = 9 \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{3}{4} \right)^k + \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{4} \right)^k = \frac{112}{3} $$