Geometrische Reihe berechnen

Question

Aufgabe:

Ich soll mit Hilfe der Formel für die geometrische Reihe berechnen?

Also um ehrlich zu sein verstehe ich nicht einmal die  Aufgabenstellung$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k+3^k}{5^{k+2}} = \, ?$$Summe von k = 0 bis ∞ ((2^(k) + 3^(k)) / (5^(k + 2)))

Ich weiß auch nicht wie ich vorgehen soll und auch nicht wie und was ich hier berechnen soll. Wäre echt froh wenn mir jemand helfen würde

LG

Answer 1

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k + 3^k} {5^{k + 2}}}= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k + 3^k} {5^2·5^k}}=\frac{1}{25}·\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k + 3^k} {5^k}}=\frac{1}{25}·\left(\sum\limits_{k=0}^{\infty} (\frac{2}{5})^k +\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\frac{3}{5})^k\right)$$weiter mit

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

Kontrolllösung: 1/6

Gruß Wolfgang

Comments

Hi,

Danke für die Antwort:)

ich habe die Aufgabe gelöst und bei mir kommt 1/3 rau.s. Ich glsube du hsst dich bei dem ersten Schritt verrechnet. Statt der 1/25 müsste glaube ich für k=0 2/25 rauskommen und wenn man zum Schluss 2/25 * 25/6 rechnet kommt 1/3 raus.

LG

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Statt der 1/25 müsste glaube ich für k=0 2/25 rauskommen ...

Nein - \(1/25\) ist richtig und das Ergebnis ist \(1/6\). $$\begin{aligned}\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{2^k + 3^k} {5^2·5^k}} &= \frac{1 + 1}{25 \cdot 1} + \frac{2 + 3}{25 \cdot 5} +  \frac{2^2 + 3^2}{25 \cdot5^2} + \dots \\&= \frac1{25} \left(\frac{1 + 1}{1} + \frac{2 + 3}{5} +  \frac{2^2 + 3^2}{ 5^2} + \dots \right)\\ &= \frac1{25}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2^k+3^k}{5^k}\end{aligned}$$Wie kommst Du auf die \(2\) bei \(2/25\)? und was hat das mit \(k=0\) zu tun?

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oh das stimmt :D

sorry für die Peinlichkeit.