Aloha :)
Von der Summe$$S_n\coloneqq\sum\limits_{k=0}^n z^k$$subtrahieren wir das \(z\)-fache von ihr selbst:$$S_n-z\cdot S_n=\sum\limits_{k=0}^n z^k-z\cdot\sum\limits_{k=0}^n z^k=\sum\limits_{k=0}^n z^k-\sum\limits_{k=0}^n z^{k+1}=\sum\limits_{k=0}^n z^k-\sum\limits_{k=1}^{n+1} z^{k}$$$$\phantom{S_n-z\cdot S_n}=\left(z^0+\sum\limits_{k=1}^n z^k\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n} z^{k}+z^{n+1}\right)=z^0-z^{n+1}=1-z^{n+1}$$Nach dem Wegfall der beiden Summen haben wir also gefunden:$$(1-z)\cdot S_n=1-z^{n+1}\quad\implies\quad\boxed{S_n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}}\quad(z\ne1)$$
Die Differenz von \(S_n\) zum Grenzwert \(S_\infty\) ist daher:
$$S_\infty-S_n=\frac{1}{1-z}-\frac{1-z^{n+1}}{1-z}=\frac{z^{n+1}}{1-z}=\frac{z}{1-z}\,z^n=\frac{1}{\frac{1}{z}-1}\,z^n$$
