Grenzwerte von Reihen. geometrische Reihe. Σ (2^n +1) / 3^n

Question

Hallo ich habe mal eine Frage zum dem Grenzwert dieser Reihe:

Σ (2ⁿ +1) / 3ⁿ  =

∑2^n/3ⁿ + ∑ 1/3ⁿ

Habe gedacht dies könnte ich mit der geometrischen Reihe anwenden Problem Summe begint bei 0 und somit. kann ich nicht behaupten  (1/3 ) ⁿ

Kann mir jemand bitte auf die Sprünge helfen.

Lieben Gruß .

Answer 1

Σ (2ⁿ +1) / 3ⁿ  =           Klammerung ist zwingend! (Punkt- vor Strichrechnung)

∑2^n/3ⁿ + ∑ 1/3ⁿ

Die Summe beginnt mit n=0?

Das ist doch kein Problem!

(1/3)^0 = 1, q = 1/3

(2/3)^0 = 1, q = 2/3

∑2^n/3ⁿ + ∑ 1/3ⁿ

⁼ ∑(2/3)ⁿ + ∑ 1/3^{n             |} Für n=0 bis unendlich

= 1/ (1-2/3)  + 1/(1-1/3) usw.

Comments

Perfekt danke. Ich glaube, ich habe dann das Kriterium von der geometrischen Reihe nicht ganz verstanden, also für in meine  qⁿ ( den beginn der Reihen ) einsetzen, wenn das q < 1 darf ich dann an wenden  also q = 1/ 1-q ?!

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Deine Reihe ist

1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81

Man nummeriert

a_(1) = 1, a_(2) = 1/3, a(3)=  1/9, a_(4) = 1/27, a_(5) = 1/81

oder

a_(0) = 1, a_(1) = 1/3, a(2)=  1/9, a_(3) = 1/27, a_(4) = 1/81

oder

a_(100) = 1, a_(101) = 1/3, a(102)=  1/9, a_(103) = 1/27, a_(104) = 1/81      

Die Indexierung n=0,.... hat keinen Einfluss auf die Summe der Zahlen.

In der Summenformel

s = a_(1) * 1/(1-q)

ist a_(1) einfach der Startwert und q der Quotient.

q = 1/ 1-q macht keinen Sinn. Erstens: Links darf sicher nicht q stehen.

Zweitens gilt Punkt- vor Strichrechnung. Also

Dein q = 1/ 1-q 

q = 1 - q ----> 

2q = 1

q = 1/2. Du hast aber q=1/3 und q = 2/3.