Partialbruchzerlegung

Question

Wie führe ich hier eine Partialbruchzerlegung durch?

f(x)= x^3+2x-7 + $$ \frac{3x^2+13x-13}{x^3+4x^2-3x-18} $$

Ausklammern im Zähler oder Nenner kann ich nicht.

Ich würde mir einen Ansatz wünschen und selbst weiterrechnen wollen.

Comments

Bin gerade soweit:

(3x^2+13x-13)/(x-2)*(x+3)

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-3 ist eine doppelte Nullstelle des Nenners, der Nenner ist also (x-2)*(x+3)².

Answer 1

2 ist eine Nullstelle des Nenners.

Hilft das?

Comments

Ich komme auf

- 25/(x-2) + 53/(x+3)^2

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Korrektur:

A=25

B= 185

Etwa so?

Answer 2

du musst zuerst die Nullstellen des Nenners berechnen, um damit partielle Brüche aufstellen zu können, in der Form:

$$ \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A_0}{(x-x_0)^{p_1}}+...+\frac{A_n}{(x-x_n)^{p_n}} $$

Wenn eine Nullstelle mehrfach vorkommen sollte, muss du den entsprechenden Linearfaktor (Nenner im Partialbruch) der Anzahl entprechend potenzieren, z.B.:

$$ x_2=3, x_3=2\\\frac{A}{(x-2)^2} $$

Dann formst du die obige Gleichung so um, um einen Koeffizientenvergleich durchführen zu können. So bekommst die Lösungen für A_0,...,A_n .

Comments

Ich komme auf

- 25/(x-2) + 53/(x+3)^2

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Korrektur:

A=25

B= 185

Etwa so?

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Fast richtig. Hatte noch vergessen zu erwähnen, dass es der Vollständigkeit so aussehen muss:

$$ x_2=-3, x_3=-3\\\frac{A_1}{(x-2)^1}+\frac{A_2}{(x-2)^2} $$

Also

$$ \frac{3x^2+13x-13}{x^3+4x^2-3x-18}=\frac{A_1}{(x+3)^1}+\frac{A_2}{(x+3)^2}+\frac{A_3}{x-2} $$

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Habe 1/(x-2) + 2/(x+3)+5/(x+3)^2 raus

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Mache jetzt folgendes: Bringe damit alles auf einen gemeinsamen Nenner. Wenn der entstandene Ausdruck derselbe wie der Ausgangsterm ist, hast du alles richtig gemacht.

Answer 3

Lösung  z.B. durch die Einsetzmethode:

(3x^2+13x-13)/(x^3+4x^2-3x-18) = A/(x-2) +B/(x+3) +C/(x+3)^2

x₁=2 :          25 =25A ->A=1

x₂= -3          -25 = C*8-5) ->C= 5

x₃=0 (z.B.)   -13= 9A -6B-2C ->B=2

Comments

Ich komme auf

- 25/(x-2) + 53/(x+3)^2

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Ich hätte bei x=2

25=A

3x^2+13x-13=A(x-3)^2+B(x-2)