Question

Sei A eine nichtleere Menge reeller Zahlen, die nach unten beschränkt ist.

Sei -A die Menge aller Zahlen -x, wobei x∈ A ist, also -A={ -x| x ∈ A}. Beweisen Sie, dass
inf(A) = -sup(-A).


HÄ? :D

Answer 1

Wenn \( s \) das Infimum von \( A \), so gilt \( s \leq x \) für alle \( x \in A \). Außerdem gibt es keine größere untere Schranke. Aus \( s \leq x \) folgt \( -s \geq -x \). Also ist \( -s \) eine obere Schranke für \(-A \). Zu zeigen ist, dass es die kleinste obere Schranke ist: angenommen, es gibt \( r \) mit \( -s > r \geq -x \), dann ist \( s < -r \leq x \). Das ist aber im Widerspruch zur Infimumeigenschaft von \( s \). Folglich ist \( -s=\sup(-A) \) bzw. \( s=\inf(A)= - \sup(-A) \).