Man zeige, dass jede nichtleere, endliche Menge reeller Zahlen ein Maximum besitzt

Question

Aufgabe:

Man zeige, dass jede nichtleere, endliche Menge reeller Zahlen ein Maximum besitzt.

Ansatz/Problem:

Ich kann mir vorstellen, dass es durch Induktion möglich wäre, es zu beweisen. Jedoch fällt mir nicht ein, wie genau ich das machen soll bzw. wie genau es funktioniert.

MfG

Answer 1

Sei M eine nicht leere endliche Teilmenge von ℝ.

1. M ist nach oben beschränkt.

Bew.: Da M nicht leer ist, gibt es ein x_o∈M.

Da x_o+1 keine obere Schranke ist, gibt es ein x1∈M mit x₁ > xo+1 ,

also insbesondere größer als  xo.

Da x₁+1 keine obere Schranke ist, gibt es ein x₂∈M mit x₂ > x₁+1 ,also insbesondere 
größer als  x₁.   …..

Auf diese Weise entsteht eine unendliche Folge von paarweise verschiedenen Elementen aus

M im Gegensatz zu: M ist endlich.

2. Jede nach oben beschränkte Teilmenge von ℝ besitzt ein Supremum s∈ℝ.

Dieses ist das Maximum. Denn wäre es das nicht, dann betrachte (mit dem xo von oben)

und mit ε_o = |x₀-s| die Umgebung von s mit dem Radius  ε_o . Da jede  ε-Umgebung des Supremums

ein Element von M enthält, gibt es ein x₁ ∈ M in dieser Umgebung von s. Dieses Element ist

weder s (Da s nicht in M.) noch x_o (Da  |s-xo| nicht kleiner als εo ist.  Also ist x1 ungleich xo.

Und mit ε₁ = |x₁-s| <ε_o  kann man wie oben den Prozess fortsetzen:

Die  ε1 - Umgebung von s enthält ein x2∈ M. Dieses ist (s.o.) weder gleich  s noch gleich x1. etc.

So erhält man wieder eine unendliche Folge verschiedener Elemente von M. Widerspruch!

Answer 2

Führe den Beweis indirekt. Angenommen eine nichtleere, endliche Menge reeller Zahlen besitzt kein Maximum. Dann gibt es zu jedem Element der Mege eines, dass größer ist und auch zur Menge gehört. Damit hat die Menge unendlich viele Elemente. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.