Funktionen (Nst., Est., und WP)

Question

Könnt ihr mir auch noch bei dieses Bsp. helfen, ich tu mir sehr schwer Extremwerte (Nullstelle, Extremstell und Wendepunkte) aus zu rechnen.

Gegeben ist  die Funktion f(x)=x³+2x²+x.

• Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion. Begründen Sie wie viele Nullstelle es maximal geben kann, bzw.  mindestens geben muuss.

• Bestimmen Sie Art und Lage der Extremstellen und ermitteln Sie den Wendepunkte.

• Skizzieren Sie den Graph der Funktion.

Answer 1

Hallo Azan,

es handelt sich um eine Funktion mit ungeradem Grad, also hat sie mindestens eine Nullstelle, maximal drei.

Diese kannst du so berechnen:

$$x^3+2x^2+x=0\\x(x^2+2x+1)=0\\x=0 \text{  oder  }x^2+2x+1=0$$

Die zweite Gleichung löst du beispielsweise mit der pq-Formel (Ergebnis x = -1).

Extremstellen:

1. Ableitung = 0 setzen, Ergebnis in 2. Ableitung einsetzen, bei positivem Ergebnis handelt es sich um einen Tiefpunkt und bei negativem um einen Hochpunkt.

Wendepunkte:

2. Ableitung = 0 setzen

Gruß, Silvia

Answer 2

Hi,

a) Nullstellen

Es gibt maximal drei Nullstellen, da wir eine Funktion dritten Grades haben. Es muss hingegen mindestens eine Nullstelle geben, da ein Vorzeichenwechsel stattfindet (fürs Verhalten im Unendlichen).

x^3+2x^2+x = x(x^2+2x+1) = 0

x_{1} = 0

Für den zweiten Teil erste binomische Formel erkennen (oder pq-Formel anwenden):

x^2+2x+1 = (x+1)^2 = 0

x_{2,3} = -1

b) Extrema und Wendepunkte

Da brauchen wir etwas Vorarbeit: Ableitungen

f'(x) = 3x^2+4x+1

f''(x) = 6x+4

f'''(x) = 6

Ein Extremum liegt nur dann vor, wenn f'(x) = 0 ist. Dafür durch 3 dividieren und pq-Formel anwenden:

x_{4} = -1

x_{5} = -1/3

Überprüfen wir noch die Art der Extremstellen mit der zweiten Ableitung:

f_{x₄} < 0  --> Hochpunkt

f_{x₅} > 0 --> Tiefpunkt

Wendepunkt fordert f''(x) = 0

-> x_{6} = -2/3

Mit f'''(x) noch überprüfen, welches in der Tat ≠ 0 ist und wir mit x_{6} eine Wendestelle haben.

c) Skizze

Skizzieren sollte mit den erhaltenen Daten kein Problem sein

~plot~ x^{3}+2x^{2}+x; [[-4|4|-4|4]] ~plot~

Grüße