Gleichung der Tangente im WP

Question

Aufgabe:

Funktion: ft(x)= (t-x)*e^x

Bestimmen Sie für t=2 die Gleichung der Tangente an den Graphen von f2 im Wendepunkt. Der Graph von f2, die Wendetangente und die x-Achse schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Problem/Ansatz:

f2(x)= (2-x)*e^x

f'2(x)= e^x(1-x)

f''2(x)= e^x(-1)

f'2(x)= 0 ergibt eine mögliche Extremstelle bei x=1

f''2(1) = -2,71 < 0 HP

f2(1)= 2,71 (y-Koordinate)

Wir haben also einen Hochpunkt bei (1/2,718)

Da die Gleichung der Tangente y=mx+b ist, hab ich gedacht dass m=1 ist. Jetzt weiß ich aber nicht wie ich y und b ausrechnen soll

Answer 1

Aloha :)

Mir scheint, dir ist bei der 2-ten Ableitung ein Faktor \(x\) verloren gegangen:$$f(x)=(2-x)e^x$$$$f'(x)=(1-x)e^x$$$$f''(x)=-xe^x$$$$f'''(x)=-(1+x)e^x$$Wir benötigen den Wendepunkt:$$0\stackrel{!}{=}f''(x)-xe^x\;\;\Rightarrow\;\;x=0\quad;\quad f'''(0)=-1\ne0$$Die Funktion hat daher genau einen Wendepunkt an der Stelle \(x_w=0\). Die Wendetangente lautet:$$t_w(x)=f(x_w)+f'(x_w)\cdot(x-x_w)=f(0)+f'(0)\cdot x=2+1\cdot x=x+2$$

~plot~ (2-x)*e^x ; x+2 ; [[-5|3|0|3]] ~plot~

Jetzt sollst du noch die Fläche zwischen \(f_2\), der \(x\)-Achse und der Wendetangente \(t_w(x)\) bestimmen. Das ist meiner Meinung nach nicht eindeutig. Es könnte die Fläche rechts von der Wendetangente im Intervall \([-2|2]\) gemeint sein oder die Fläche links davon im Intervall \([-\infty|-2]\). Vermutlich denke ich aber zu kompliziert und es ist einfach die Fläche rechts von der Tangente gemeint.$$F=\int\limits_{-2}^0(x+2)dx+\int\limits_0^2(2-x)e^x=\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-2}^0-\left[(x-3)e^x\right]_0^2$$$$\phantom{F}=0-(-2)-\left[-e^2-(-3)\right]=e^2-1$$

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Dankeschön! :)