Schnittpunkt von lineare Funktion und quadratische berechnen

Question

Ich weiß ehrlich nicht wie ich Schnittpunkte berechnen soll kann mir jemand Beispiele vor rechnen und in jeden Schritt sagen wie er sie vor gegangen ist?

Auch hier

Bestimmen der y-Achsenabschnitt und nullstellen

Gegeben sind die Funktion f(x) = 5,5x - 10 mit g(x)= 2x^2 - 4x - 6

A) bestimmen Sie die Schnittpunkte

Answer 1

Setze die beiden Gleichungen gleich:$$2x^2-4x-6=5.5x-10 \quad |-(5.5x-10)$$$$2x^2-9.5x+4=0$$ Nun die Mitternachtsformel anwenden:$$x_{1,2}=\frac{9.5\pm\sqrt{(-9.5)^2-4\cdot 2\cdot 4}}{2\cdot 2}$$ Daraus kommt man auf die Lösungen:$$x_1=\frac{19+\sqrt{233}}{8}≈ 4.283 \quad \vee \quad x_2=\frac{19-\sqrt{233}}{8}≈ 0.46696$$ Dann \(x_1\) und \(x_2\) in \(f(x)\) einsetzen, um die Punkte anzugeben.

https://www.desmos.com/calculator/8er0j4rzio

Comments

Falls du die Mitternachtsformel nicht kennst - sie stirbt langsam aus, habe ich das Gefühl -  teile die Gleichung durch 2 und wende die pq-Formel an. :)

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Wenn ich Lehrer wäre, dann würde ich die PQ-Formel für den Fall \(a=1\) und die Mitternachtsformel bei \(0>a>1\) als normativen Weg zur Lösung unterrichten.

Des Weiteren sollten aber auch Dinge, wie der "Satz von Vieta"  oder auch Faktorisierung (durch z. B. Binomische Formeln) in Linearfaktoren berücksichtigt werden.

Den Ableitungsbegriff würde ich auch schon einbauen, um den Extremwert (Scheitelpunkt) zu berechnen.

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Für den scheitelpunkt gibt es die scheitelpunktsform mit quadratischer Ergänzung.

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Wollen wir mal Wettrechnen und schauen, wer schneller zum Punkt kommt?

5x^2+5x-2=0

10x+5=0

x=-0.5

P(-0.5|f(0.5))

Geht im Kopf sehr schnell.

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Das Konzept der Ableitung kommt erst in der Oberstufe dran und das ist auch gut so.