Fur zwei Mengen A und B ist die symmetrische Differenz definiert als
die Menge
A∧B := (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Man muss zeigen dass für irgendwelche Mengen A, B, C gilt: A ∩ (B∧C) = (A ∩ B)∧(A ∩ C)
Logik
| Mengen
| Erklärung |
a ∧ b
| A ∩ B
| x ∈ A ∩ B ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ B]
|
a ∨ b
| A ∪ B
| x ∈ A ∪ B ⇔ [x ∈ A ∨ x ∈ B]
|
| a ⇒ b | A ⊆ B
| A ⊆ B ⇔ [x ∈ A ⇒ x ∈ B]
|
| a ⇔ b | A = B
| A = B ⇔ [x ∈ A ⇔ x ∈ B
|
| ¬a | Ä = U \ A
| x ∈ Ä ⇔ ¬(x ∈ A)
|
∧- und , ∨-oder , ¬ - Negation
Ich habe versucht die linke Seite über den direkten Beweis aufzulösen. Hier kommt raus:
(x∈A ∧ (x∈B ∨ x∈C) ) ∧ (x∈A ∧ (¬(x∈B) ∨ ¬(x∈C) ) Ab der Stelle komme ich nicht weiter.
die Kontraposition für links ergibt: ( ¬(x∈A) ∨ ( ¬(x∈B) ∧ ¬(x∈C) ) ∨ ( ¬(x∈A) ∨ (x∈B ∧ x∈C) )
( ¬(x∈A) ∨ ( ¬(x∈B) ∧ ¬(x∈C) ) - heißt x nicht aus A oder nicht aus B und C- per Def. falsch ->
falsche Aussage oder ( ¬(x∈A) ∨ (x∈B ∧ x∈C) ) -> ¬(x∈A) per Def. falsch ->
falsche Aussage oder ( falsche Aussage oder (x∈B ∧ x∈C) ) -> (x∈B ∧ x∈C) bleibt über. dem ist aber nicht so.
Ich sitze fest , wäre für jeden Hinweis dankbar
