Einen Koordinatenmittelpunkt anhand einer Funktion dritten Grades errechnen

Question

Ich stelle hier einfach mal die Frage nach Errechnung einer Funktion dritten Grades, die zur Lösung/Findung eines Geocache-Versteckes dient. Sollte das nicht erwünscht sein, bitte meine Frage löschen.

Hier der Text:

Gegeben ist f eine Funktion dritten Grades, die aus vier Koordinatenpunkten besteht.

N 51° 55.914 E 008° 30.579
N 51° 55.730 E 008° 31.025
N 51° 55.945 E 008° 32.168
N 51° 56.239 E 008° 31.750

Weiter vorgegeben ist x1 31.315634 und x2 31.767577

Die Werte x1 und x2 sind Längengrade. Sie schneiden die Funktion f  an den Breitengraden f(x1)=y1 und f(x2)=y2

So erhält man die Punkte p1=(x1/y1) und p2=(x2/y2)

Durch den Punkt p1 muss eine Normale g1 gezogen werden. Durch den Punkt p2 muss eine Tangente g2 gezogen werden. Dort wo sich die Geraden g1 und g2 schneiden, ist der gesuchte Punkt.

Vielleicht kann mir jemand zur Lösung ein paar Tipps geben, bzw. eine ANleitung, wie man das errechnet.

Gruß

Azz0

Comments

soll die Parabel in x-y Koordinaten oder in den geographischen Koordinaten gegeben sein? da die Gradzahlen nahe beieinander liegen, könnte man ja mit einem ebenen Erdstück rechnen?

 Gruß lul

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Da passt doch noch mehr nicht zusammen?

Wie gehen die gegebenen Längengrade um die 8° mit den x1 und x2 um die ~31 zusammen? Was soll da schneiden, wenn die Funktionswerte zu x1, x2 berechnet werden?

Answer 1

Ein paar Hinweise so weit es die unklare Aufgabenstellung zulässt:

$\scriptsize fo(x) \, := \, a3 \; x^{3} + a2 \; x^{2} + a1 \; x + ao$

$\scriptsize \left\{ fo\left( P1_x \right) = P1_y, fo\left( P2_x \right) = P2_y, fo\left( P3_x \right) = P3_y, fo\left( P4_x \right) = P4_y \right\}$

Löst man dieses GLS könnte man etwa erhalten

$\scriptsize f(x) \, := \, -4942.162590663 \; x^{3} + 126358.5233743 \; x^{2} - 1076887.763371 \; x + 3059300.244914$

Dann kann man

$\scriptsize f(p1_x)=p1_y, f(p2_x)=p2_y$

berechnen und die Normale bzw. Tangente angeben zu 

$\scriptsize g1(x):= \, -1/f'(p1_x)\; \left(x - p1_x \; \right) + p1_y$

$\scriptsize g2(x):= \, f'(p2_x)\; \left(x - p2_x \; \right) + p2_y$

Der Schnittpunkt g1 x g2 sollte in der Nähe des Cache liegen...