Nullstellen einer Funktion dritten Grades

Question

Kann mir jemand sagen, wie man hier die Nullstellen berechnet? Es ist kein Lösungsweg angegeben, lediglich die einzelnen Faktoren. Aber um auf die Faktoren zu kommen, müsste man ja auch schon vorher die Nullstellen kennen.

Text erkannt:

\( g(x)=-x^{3}+6 x^{2}-11 x+6 \)
(i) Nullstellen
\( \left.\begin{array}{l} x=1 \\ x=2 \\ x=3 \end{array}\right\} \quad \&(\lambda)=-(x-1)(x-2)(x-3) \)

Answer 1

Aloha :)

Wenn es bei einem Polynom ganzzahlige Nullstellen gibt, dann sind das Teiler von der Zahl ohne \(x\). Hier in der Aufgabe ist die Zahl ohne \(x\) die \(6\) am Ende:$$f(x)=-x^3+6x^2-11x+6$$Die Teiler von \(6\) sind: \(\pm1\), \(\pm2\), \(\pm3\) und \(\pm6\).

Das sind nicht so viele. Setze die alle in die Funktion ein und du findest die Nullstellen bei \(1\), \(2\) und \(3\). Da ein Polynom 3-ten Grades maximal 3 Nullstellen haben kann, bist du dann fertig.

Wenn es keine ganzzahligen Nullstellen gibt, funktioniert dieser Trick nicht. Dann brauchst du in der Regel numerische Verfahren zur Nullstellenberechnung bzw. einen guten Taschenrechner, der das für dich macht.

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Tausend Dank!!

Answer 2

Du musst die 1. Nullstelle raten, sie muss ein Teiler von 6, der Konstanten, sein.

Dann die Polynomdivision durchführen.

x= 1 ist Nullstelle -> Division mit (x-1)

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/polynomdivision.html

Answer 3

Hallo,

ich würde immer erst einmal die Koeffizienten addieren:

-1+6-11+6=0

--> x_1=1 ist eine Nullstelle. :-)

Nun entweder Polynomdivision oder Horner-Schema.

	-1	6	-11	6
	/	-1	5	-6
x=1	-1	5	-6	0

--> 0=-x²+5x-6

0=x²-5x+6

Jetzt pq-Formel:

x_23=2,5±√(6,25-6)=2,5±0,5

x_2=2   ;   x_3=3

--> f(x)=-(x-1)(x-2)(x-3)

:-)

Comments

Jetzt pq-Formel

Vieta ist hier schneller

Man sieht sofort: (x+3)(x+2)

Die Frage ist: Wer kennt heute noch Vieta?

Ist er noch Schulstoff?