Ist jedes Element auch eine Teilmenge

Question

Ich habe hier eine Aufgabe zu Potenzmengen vor mir liegen und bin mir über eine Sache unklar:

Ist jedes Element auch gleichzeitig eine Teilmenge?

Ich habe eine Menge A={1,{2}} ggb. deren Potenzmenge lautet also P(A)={{},{1},{{2}},{1,{2}}}

ist nun {1,{2}} Element oder Teilemenge von P(A) oder beides? Ich denke ja beides, ein Element ist es ja auf jeden Fall und nach meinem Verständnis somit auch eine Teilmenge.

Answer 1

Eine Teilmenge ist eine Menge von Elementen. Du hast völlig richtig erkannt, dass \(\{1,\{2\}\}\) ein Element der Potenzmenge ist. Erst wenn Du die Mengenklammern als Wrapper um Dein Element ziehst, hast Du wieder eine Menge.

Schau Dir ggf. noch einmal die Definitionen der Begriffe "Menge" und "Element" an.

Comments

Hmmm ok verstehe, aber mit Potenzmengen scheint mir das etwas unklar, da sie ja nur aus Mengen besteht. Heißt das eine Potenzmenge hat keine Elemente sondern nur Teilmengen? {1,{2}} ist ja offensichtlich eine Menge und kommt in P(A) vor.

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Viele haben Probleme, sich auf diesen Gedanken einzulassen. Ja, die Elemente der Potenzmenge sind Mengen. Aber sie sind keine Teilmengen der Potenzmenge, denn dafür bräuchten sie den "Wrapper" drum herum, der sie zu einer "Teilmenge der Potenzmenge" macht. Wir bewegen uns hier auf unterschiedlichen Ebenen.

Heißt das eine Potenzmenge hat keine Elemente sondern nur Teilmengen

Nein! Die Elemente einer Potenzmenge sind Mengen. Wenn Du (mindestens) eine dieser Mengen in der Potenzmenge zu einer neuen Menge zusammenfasst, hast Du eine Teilmenge der Potenzmenge.

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Ein nettes Beispiel für einen Satz, der daneben gegangen ist :

Erst wenn Du die Mengenklammern als Wrapper um Dein Element ziehst, hast Du wieder eine Menge.

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ok ich denke ich verstehe jetzt, vielen Dank :)

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Sehr schön! Vielleicht noch ein Beispiel zur Kontrolle.

Gegeben ist \(A:=\{\{2\},\{3\}\}\)

Welche der folgenden Ausdrücke sind Teilmengen der Potenzmenge von \(A\)?

- \(\{2\}\)

- \(\{\{2\}\}\)

- \(\{\{\{3\}\}\}\)

- \(\emptyset\)

- \(\{\{2\},\{3\}\}\)

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ouhh ok das ist etwas fies, aber ich denke das nur das dritte eine Teilmenge ist.

Das Erste schonmal überhaupt nicht^^ Das Zweite ist ein Element von P(A) aber keine Teilmenge. Die Leere Menge hat keine Klammern und fällt somit schon komplett raus. Das Letzte ist nur ein Element von P(A) wenn ich mich nicht irre.

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Perfekt, Du hast es verstanden :)

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Bis auf einen Fehler

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. Die Leere Menge hat keine Klammern und fällt somit schon komplett raus.

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Man kann sie auch so schreiben: {}

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ah ok d.h. also das {{}} Teilmenge von P(A) wäre

Answer 2

Hallo

genauer: die Menge bestehend aus einem Element ist Teilmenge, nicht das Element selbst.

Gruß lul

Comments

{1} wäre also kein Element von P(A), sondern nur eine Teilmenge?