Seien A, B Mengen der folgenden Aussagen

Question

und zwar soll ich folgendes Beweisen:

Seien A, B Mengen.
(a) Was folgt aus A \ B = A ∪ B fur die Menge B?
(b) Was folgt aus (A \ B) ∪ (B \ A) = ∅ fur A und B?

Mengen sind echt nicht Mein Thema. Könnte mir jemand ein Ansatz geben, wie ich auf die richtige Lösung komme?

Answer 1

a) B ist die leere Menge. Beweis: Angenommen B ist ungleich der leeren Menge, dann enthaelt B Elemente.

$$A \setminus B = A ∪ B \iff A \land \neg B=A \lor B =: C$$

$$Angenommen \space es \space gibt \space b \in B$$

Dann ist b aber gleichzeitig Element von C und nicht Element von C. Dies ist aber ein Widerspruch, demzufolge muss B leer sein.

b) A = B. Beweis: Angenommen A ist ungleich B. Dann gilt:

$$(A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \varnothing \iff (A \land \neg B) \lor (B \land \neg A)=\varnothing$$

Ab hier komme ich leider auch nicht weiter, so wie ich das sehe muesste da ein logisches "und" zwischen den beiden Ausdruecken stehen und kein "oder", finde meinen Fehler aber nicht. Vielleicht kann ja jemand in den Kommentaren Klarheit shcaffen?