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Relation R1: Äquivalenzrelation oder partielle Ordnung?
Bei R1 haben wir die Relation definiert als \(R1 = \{(n1,n2)R(m1,m2) | (n1,n2),(m1,m2) \in \mathbb{Z}^2 \text{ und } n1-m1=n2-m2 \}\).
Um zu bestimmen, ob es sich um eine partielle Ordnung oder eine Äquivalenzrelation handelt, müssen wir die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität untersuchen.
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Reflexivität: Eine Relation ist reflexiv, wenn jedes Element zu sich selbst in Relation steht. Für \(R1\) gilt, dass für jedes Paar \((n1,n2)\), \(n1-n1=n2-n2=0\), also \((n1,n2)R(n1,n2)\). Damit ist \(R1\) reflexiv.
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Symmetrie: Eine Relation ist symmetrisch, wenn aus \((a,b)R\) folgt, dass \((b,a)R\). In unserem Fall, wenn \((n1,n2)R(m1,m2)\), also \(n1-m1 = n2-m2\), dann gilt auch \(m1-n1 = m2-n2\) (da die Gleichung symmetrisch in \(n\) und \(m\) ist), also \((m1,m2)R(n1,n2)\). Damit ist \(R1\) symmetrisch.
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Antisymmetrie: Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn aus \((a,b)R\) und \((b,a)R\) folgt, dass \(a = b\). Da wir bereits festgestellt haben, dass \(R1\) symmetrisch ist, kann \(R1\) nicht antisymmetrisch sein. Wie im Beispiel mit \((1,1)R(2,2)\) und \((2,2)R(1,1)\), aber offensichtlich \((1,1) \neq (2,2)\), ist \(R1\) nicht antisymmetrisch.
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Transitivität: Eine Relation ist transitiv, wenn aus \((a,b)R\) und \((b,c)R\) folgt, dass \((a,c)R\). Betrachten wir \((n1,n2)R(m1,m2)\) und \((m1,m2)R(p1,p2)\), also \(n1-m1 = n2-m2\) und \(m1-p1 = m2-p2\), durch Addition erhält man \(n1-p1 = n2-p2\), was zeigt, dass \((n1,n2)R(p1,p2)\). Damit ist \(R1\) transitiv.
Da \(R1\) reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, handelt es sich um eine
Äquivalenzrelation.
Relation R2: Partielle Ordnung
Die Relation \(R2\) ist definiert als \(R2 = \{(A,B) | A,B \in P(\mathbb{N}) \text{ und } A\) ist eine echte Teilmenge von \(B\}\). Um zu bestimmen, ob es sich um eine partielle Ordnung oder eine Äquivalenzrelation handelt, untersuchen wir die Eigenschaften:
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Reflexivität: Eine Relation ist reflexiv, wenn jedes Element zu sich selbst in Relation steht. Da jedoch \(R2\) definiert ist für echte Teilmengen, gilt keine Menge \(A\) zu sich selbst als echte Teilmenge. Daher ist \(R2\)
nicht reflexiv.
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Antisymmetrie: Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn aus \((a,b)R\) und \((b,a)R\) folgt, dass \(a = b\). Da nach der Definition von \(R2\) keine zwei verschiedenen Mengen gleichzeitig echte Teilmengen voneinander sein können, ist \(R2\) antisymmetrisch.
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Transitivität: Eine Relation ist transitiv, wenn aus \((a,b)R\) und \((b,c)R\) folgt, dass \((a,c)R\). Da echte Teilmengen hier betrachtet werden, wenn \(A\) eine echte Teilmenge von \(B\) ist und \(B\) eine echte Teilmenge von \(C\) ist, dann ist \(A\) auch eine echte Teilmenge von \(C\), womit \(R2\) transitiv ist.
Da \(R2\) antisymmetrisch und transitiv ist, aber nicht reflexiv, handelt es sich um keine Äquivalenzrelation. Es kann allerdings als eine
partielle Ordnung betrachtet werden, aber mit der Klarstellung, dass die Reflexivitätsbedingung durch die Definition der echten Teilmenge nicht erfüllt wird.
Äquivalenzklassenbildung für R1:
Die Äquivalenzklassen für \(R1\) sind Gruppen von Elementen in \(\mathbb{Z}^2\), die bezüglich der Differenz ihrer Komponenten zueinander äquivalent sind. Da \(n1-m1 = n2-m2\), gruppieren die Äquivalenzklassen Paare von ganzen Zahlen basierend auf der Differenz zwischen den Komponenten des Paares. Zum Beispiel bilden alle Paare \((n1, n2)\), bei denen \(n1-n2 = k\) für eine Konstante \(k\), eine Äquivalenzklasse.
Visualisierung von R2:
Für \(N=\{1,2,3\}\) und \(P(N) = \{ \{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\} \}\), ergeben sich Teilordnungen basierend auf der echten Teilmenge Beziehung. Da die Visualisierung partieller Ordnungen oft durch Hasse-Diagramme erfolgt, würde man in diesem Fall Knoten für jede Menge aus \(P(N)\) einzeichnen und Pfeile (oder Linien) von jeder Menge zu ihren direkten Obermengen ziehen, wobei die Singleton-Mengen \(\{1\}\), \(\{2\}\), \(\{3\}\) unten und die vollständige Menge \(\{1,2,3\}\) am oberen Ende des Diagramms positioniert sind.
