Also hat man (n1, n2) ∼ (m1, m2) ⇔ n1 + m2 = n2 + m1.
Und Komponenten der Paare sind alles nat. Zahlen .
Beh.: Für alle ( k1, k2) ∈ [(n1, n2)] und ( l1, l2) ∈ [(m1, m2)] gilt:
[(k1, k2)] + [(l1, l2)] = [(n1, n2)] + [(m1, m2)]
Das heißt ja letztlich nur: Die Summe zweier Äquivalenzklassen
ist unabhängig von der Wahl der zu addierenden Vertreter.
Denn es bedeutet ja ( k1, k2) ∈ [(n1, n2)] , dass ( k1, k2) ~ (n1, n2)
also k1+n2 = k2 + n1
und entsprechend ( l1, l2) ∈ [(m1, m2)] , dass ( l1, l2) ∈ (m1, m2)
also l1 + m2 = l2+m1
Die Summe zweier Klassen ist vermutlich so definiert:
[(k1, k2)] + [(l1, l2)] = [(k1+l1, k2+l2)] .
Also musst du für deine Behauptung zeigen, dass gilt
[(k1+l1, k2+l2)] = [(n1+m1, n2+m2 )] .
Zwei Klassen sind gleich, wenn sie zwei
Vertreter haben, die in der Relation sind, du
musst also zeigen (k1+l1, k2+l2) ~ (n1+m1, n2+m2 ).
Nach Def. von ~ also zu zeigen
k1+l1 + n2+m2 = k2+l2 + n1+m1
<=> k1+n2 + l1 + m2 = k2+n1 + l2 + m1
und das wird durch die Addition der
durch die Vor'en gegebenen Gleichungen
k1+n2 = k2 + n1 und l1 + m2 = l2+m1
garantiert. q.e.d.
