Ein neuer Satz der Geometrie

Question

Über den Seiten eines beliebigen Dreiecks ABC werden die gleichseitigen Dreiecke ABC',CBA' und ACB' errichtet (Alle gleichseitigen Dreiecke haben nur Randpunkte mit ABC gemeinsam). Zeigen Sie

a) AA', BB' und CC' sind geichlang.

b) AA', BB' und CC' schneiden sich in einem Punkt.

Comments

Der Schnittpunkt der Geraden durch \(AA'\), \(BB'\) und \(CC'\) ist der 1. Fermat Punkt. Bzw. der Punkt mit Kimberling-Nummer X(13). Siehe 'Encyclopedia of Triangle Centers' ISOGONIC CENTER (FERMAT POINT, TORRICELLI POINT).

Answer 1

Hallo

du hast in meinem Bild je 2 kongruente Dreiecke, 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel. in meinem Bild: MDF=IHF und FLH=IHO

leicht zu zeigen im Punkt p sind alle Winkel 60°, dann hast du, wie bei den Kreisen von miguel wieder lauter SehnenV ierecke (in den Umkreisen der gleichseitigen Dreiecke, damit ist dann zu zeigen, dass es genau ein P gibt.

Gruss lul

Comments

"wieder lauter SehnenBierecke"

Ich sehne mich auch gerade nach einem Biereck.

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Danke, damit zu nicht trunken wirst hab ich das B vom Bier zu V geändert, so seh ich wenigstens, das jemand meine Antworten liest.

Gruß lul

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Die Lösung scheint mir genial zu sein. Leider verstehe ich " MDF=IHF und FLH=IHO" nicht. Zum Beispiel gibt es den Punkt D nicht und es sieht nicht so aus, als ob FLH=IHO in der Skizze stimmt.

Die Skizze enthält außerdem die Punkte J, K und N, deren Bedeutung mir nicht klar ist.

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Leider verstehe ich " MDF=IHF und FLH=IHO" nicht.

Ja - ein paar mehr erklärende Worte von lul wären gut gewesen.

Der Punkt \(D\) ist der dritte Punkt des grünen Dreiecks \(\triangle FHD\). Die Dreiecke \(\triangle MDF\) und \(\triangle HIF\) sind konkruent, da sie in zwei Seiten und einem Winkel überein stimmen. Es ist \(|DF| = |IF|\), \(|FM|=|FH|\) und\(\angle HFI = \angle MFD\). Womit dann bereits die Gleichheit der schwarzen Strecken bewiesen wäre.

Da sich jedes Paar konkruenter Dreiecke durch eine Rotation von \(60°\) in einander überführen lässt, mussen die drei Strecken \(DM\), \(IH\) und \(FL\) jeweils einen Winkel von \(60°\) bilden. Daraus folgt, dass z.B. der Winkel \(\angle FPH = 120°\) ist und \(\angle FPH + \angle HMF=180°\). Somit ist das Viereck \(MHPF\) ein Sehnenviereck mit dem identischen Umkreis wie \(\triangle MHF\).

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... so seh ich wenigstens, das jemand meine Antworten liest.

Ich finde es auch schade, dass Fragen zum Thema Geometrie weniger Beachtung finden als andere, wie immer wieder an der Anzahl der Aufrufe zu sehen ist.

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@Werner-Salomon: Vielen Dank für Deine Erklärungen. Inzwischen habe ich die vollständigen Lösungen zu meinen Aufgabenteilen a) und b) gefunden.