Zeigen sie : f(A∩B) ⊆ f(A) ∧ f(B)

Question

Wie ist der Beweis zu führen? Ich habe Probleme zu erkennen, wie viel man denn beweisen muss, sprich wann der Beweis endet.

Mein Ansatz wäre der folgende gewesen:

f(A∩B) ⇔ f(A∧B) ⇔ f(A) ∧ f(B) (Distributivgesetz) ⇔ f(A) ∧ f(B). Das kommt mir aber sehr kurz vor ... ich wüsste jetzt auch nicht, ob ich die Aussage noch mit Wahrheitstabelle begründen müsste (das Distributivgesetz) oder ob das so hingenommen wird. Mein Problem ist eigentlich nicht das mathematische Verständnis (zumindest meines Erachtens nach) :D , ich kann jedoch überhaupt nicht nachvollziehen wie weit man denn mit einem Beweis gehen muss (bis hin zum kleinen 1+1 ?? ) :D

Comments

f(A∩B) ⇔

Das ergibt keinen Sinn.

⇔ bedeutet "genau dann wenn". Links und rechts davon stehen Aussagen (also Sätze, bei denen es sinnvoll ist, danach zu fragen ob sie wahr oder falsch sind). Es ist sinnlos, danach zu fragen ob f(A∩B) wahr oder falsch ist.

wann der Beweis endet.

Wenn du für jede Schlussfolgerung und jede Umformung die Regel angeben kannst, warum du sie durchführen darfst.

Answer 1

f(A∩B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

Falls f(A∩B) = ∅ ist, dann ist f(A∩B) ⊆ f(A) ∩ f(B), weil ∅ ⊆ M für jede Menge M gilt.

Falls f(A∩B) ≠ ∅ ist, dann sei

(1)        y ∈ f(A∩B).

Sei x ∈ A∩B mit

(2)        f(x) = y.

Ein solches x existiert laut Definition "Bild einer Menge". Dann ist x ∈ A laut Definition von ∩. Also ist

(3)        f(x) ∈ f(A)

laut Definition "Bild einer Menge". Außerdem ist auch x ∈ B laut Definition von ∩. Also ist

(4)        f(x) ∈ f(B)

laut Definition "Bild einer Menge". Wegen (3) und (4) und Definition von ∩ ist dann

(5)        f(x) ∈ f(A) ∩ f(B)

und zusammen mit (2) folgt daraus

(6)        y ∈ f(A) ∩ f(B).

Zusammengefasst gilt also

(7)        y ∈ f(A∩B) ⇒ y ∈ f(A) ∩ f(B).

für jedes y. Laut Definition von ⊆ gilt also f(A∩B) ⊆ f(A) ∩ f(B).