Uneigentliches Integral auf Konvergenz untersuchen

Question

Es geht um das folgende Integral:

$$\int_{0}^{\infty} \! \frac{1}{1+x|sin(x)|} \, dx$$

laut wolfram hat das Integral ein Grenzwert... aber in der Lösung vom Tutor steht divergent...

hier vom tutor:

in meiner Lösung komme ich auf konvergent. ich habe für sin die reihenentwicklung genommen.

dann komme ich auf 1/x² und das ist < 1 und somit konvergent, da wir ja von 0 bis unendlich integrieren...

mfg

Answer 1

" ich habe für sin die reihenentwicklung genommen."

Interessant. Wie hast du denn den BETRAG von sin(x) in eine Reihe entwickelt???

Comments

achso man kann bei taylor nicht mit betrag arbeiten? ich habe einfach nur von sin genommen.

x-x³/3!+x⁵/5! usw...

dachte betrag einfach nur weil + sein soll... und die reihe war >0 also habe ich betrag rausgelassen.

mir ist grad was aufgefallen.. habe oben auf dem bild gedacht, dass das ne majorante ist aber unser bruch ist aber kleiner... also eigentlich minorante... und nun macht divergenz sinn... aber verstehe immernoch nicht warum das nicht mit der reihe klappt

mfg

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also ist die lösung vom tutor richtig? aber wieso geht das denn mit der Reihe nicht?

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Weil sin(x) nicht das gleiche wie |sin(x)| ist und demzufolge deine gewählte Reihenentwicklung nicht zutrifft.

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Die beiden Abbildungen zeigen den Funktionsverlauf mit und ohne Betrag.

Ohne Betrag kannst du gar nicht integrieren, weil du da über viele Polstellen hinwegbügelst.

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ah ok verstehe... dachte für die konvergenz ist es auch ok wenn wir nur die positiven stellen von sin betrachen...

also dann ist die Methode vom tutor nun klar...

danke sehr :)

Answer 2

die untere Grenze macht keine Probleme.

Der Nenner wird auch nirgends Null. Also bleibt bloß die obere Grenze als Problem.

Die Reihenentwicklung des Sinus nützt hier nix, da diese am Entwicklungspunkt x=0 gilt und nicht für den Grenzwert x---> oo

Schätze stattdessen den Bruch ab wie in der Musterlösung.