uneigentliches Integral auf Konvergenz untersuchen

Question

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 4 x + 3 } d x$$

Ich sitze an dieser Aufgabe schon seit Stunden. Ich muss, glaube ich, das gegebene uneigentliche Integral mit einem simpleren uneigentlichen Integral vergleichen. Und das gegebene Integral konvergiert, wenn das simplere ebenfalls konvergiert, richtig? Wie finde ich nun das simplere Integral zu diesem?

geht das so?

Answer 1

Versuche es doch mal mit Partialbruchzerlegung des Nenners.

Comments

ah stimmt! vielen dank!
hab es gelöst bekommen

Answer 2

x^2-4x+3=(x-3)(x-1)

Du integrierst also über die Polstelle x_p=1.

Daher ist das Integral in zwei Summanden zu zerlegen, also

Integral von 0  bis 1 + Integral von 1 bis 2

Beide Summanden sind einzeln im Grenzwertprozess zu betrachten. Bsp:

Integral von 0  bis 1 dx/((x-3)(x-1))

= lim a --->1 Integral von 0  bis a dx/((x-3)(x-1))

Das Integral ist per Partialbruchzerlegung zu lösen.

Als Ergebnis kommt +∞ raus, also divergent. (Das zweite Integral gibt -∞)