Relation auf Eigenschaften symmetrisch, reflexiv und antisymmetrisch prüfen

Question

es geht um die Relation R, bei der ich nicht weiter weiß.

$$ R=\{(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}:a=2b\} $$

Reflexiv.

$$ \text{Sei }n\in \mathbb{N}\text{ mit } n=a=b.\text{ Dann ist }n=2n \text{ ein Widerspruch.} $$

Symmetrie. Hier hab ich keine Ahnung.

Antisymmetrie.

$$\text{Seien }a,b\in \mathbb{N}\text{ beliebig mit }(a,b)\in R \text{ und }(b,a)\in R. \text{Dann gilt }a=2b \text{ und } b=2a. \text{Dann ist auch }a=4a.$$

Ab hier weiß ich auch nicht mehr weiter, was man tun sollte, bzw. kann ich damit nichts anfangen.

Comments

Formuliere  die Relation in Worten. Dann kannst du sofort alle Eigenschaften erkennen.

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a ist eine gerade (und natürliche) Zahl.

Das hilft mir aber nicht weiter...

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Nein, eine Zahl ist keine Relation.

Die Relation lautet: a ist zu b in Relation, wenn a das doppelte von b ist.

Kann a zu sich selbst in Relation stehen? Nein, denn im allgemeinen ist das doppelte einer natürlichen Zahl nicht die Zahl selbst.

Ist die Relation symmetrisch? Nein, wenn a das doppelte von b ist, dann kann b nicht das doppelte von a sein. Im Gegenteil: dies schließt sich aus, daher ist die Relation antisymmetrisch.

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Zur Symmetrie hatte ich mir ein Gegenbeispiel in dieser Form überlegt.

Betrachte (2,1)∈R. Dann ist 2=a=2*1=2*b.

Betrachte nun (1,2)∈ℕxℕ. Es ist aber b=1≠2*2=2*a. Also gilt keine Symmetrie.

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Genau, ein Gegenbeispiel reicht natürlich. So hast du es auch sauber aufgeschrieben.

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Ok.

Aber warum gilt hier die Antisymmetrie.

Ich habe ja (a,b)∈R und (b,a)∈R gegeben.

Dann kann man doch schonmal sagen, dass dann a=2b und b=2a gilt. Aber was kommt dann, bzw. wie kann ich damit auf a=b kommen?

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EDIT: Ich bekomme dann damit doch a=4*a. Aber das wäre ja nur für a=0 erfüllt. Damit wäre b=0. Aber es muss doch für alle a,b∈ℕ gelten.

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Vom Duplikat:

Titel: Probleme mit Äquivalenzrelationen. (a) R={(a,b)∈ ℕ × ℕ : a=2b}

Stichworte: äquivalenzrelation,äquivalenzklassen,relation,mengen

ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe bei der ich immer wieder mit den Definitionen durcheinander komme.

Hier sind die Definitionen die ich verwendet habe: Eine Relation R ⊆ A × A heißt:

reflexiv, falls (a,a) ∈ R für alle a ∈ A;

symmetrisch, falls für alle a,b ∈ A gilt: Ist (a,b) ∈ R, so ist auch (b,a) ∈ R

antisymmetrisch, falls für alle a,b ∈ A gilt: Ist (a,b) ∈ R und ist (b,a) ∈ R, so ist a = b

Nun muss ich für jede der folgenden Relationen R ⊆ ℕ × ℕ angeben welche der drei Eigenschaften erfüllt werden.

(a) R={(a,b)∈ ℕ × ℕ : a=2b} Mein Lösungsversuch: (a,b) ∈ R da (a,b) ∈ ℕ × ℕ für welches wiederum R ⊆ ℕ × ℕ gilt.

Aber (a,a) ∉ R da a ≠ 2a ist also nicht reflexiv. Aber wenn a=0 ∧ a=0 ist dann trifft die Reflexivität zu oder?

Wie man jetzt die Symmetrie und Antisymmetrie prüft weiß ich leider nicht.

Das gleiche muss ich übrigens auch für (b) R= {(a,b) ∈ ℕ×ℕ : |b-a|=1} und c) R={(a,b) ∈ ℕ×ℕ: a teilt b} machen aber ich komme auf diese Definitionen nicht klar. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir jemand anhand einer dieser Beispiele erläutern könnte wie ich so eine Aufgabe löse. MfG

EDIT: Kann man seine Fragen eig auch irgendwie pushen, wenn man mehr Aufmerksamkeit auf die eigene Frage lenken will?

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Ich habe die Relation $$ \{(a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}: |b-a|=1\} $$
Diese ist doch aus folgendem Grund nicht antisymmetrisch:
Sei (1,2)∈R. Dann ist |2-1|=1 erfuellt. Es gilt zwar auch (2,1)∈R mit |1-2|=1, aber es ist doch 1≠2, sodass keine Antisymmetrie vorliegt. Richtig?

Answer 1

R={(a,b)∈ ℕ × ℕ : a=2b}

R ist die Menge aller Paare von natürlichen Zahlen, deren erste Komponente doppelt so groß ist wie die zweite Komponente.

(a,b) ∈ R da (a,b) ∈ ℕ × ℕ

Das reicht nicht, weil nicht sicher gestellt ist, dass a doppelt so groß ist wie b.

Aber wenn a=0 ∧ a=0 ist dann trifft die Reflexivität zu oder?

Natürlich trifft Reflexivität dann immer noch nicht zu. Du hast doch in deiner Definition von Reflexivität so schön geschreiben "(a,a) ∈ R für alle a ∈ A" und nicht "für einige a ∈ A".

Comments

Zu deinem zweiten Punkt: Wie stelle ich sicher, dass a doppelt so groß ist wie b? Und wie beweise ich die symmetrie und antisymmetrie? Verstehe das leider gar nicht. Wäre echt cool, wenn du mir das demonstrieren könntest. MfG

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Wie stelle ich sicher, dass a doppelt so groß ist wie b?

Indem du sagst "Sei b doppelt so groß wie a".

R={(a,b)∈ ℕ × ℕ : a=2b}

R ist nicht reflexiv, weil 1 ∈ ℕ und (1,1) ∉ R.

Und wie beweise ich die symmetrie

Überhaupt nicht. Man widerlegt Symmetrie:

    R ist nicht symmetrisch, weil (1, 2)  ∈ R und (2, 1) ∉ R.

R ist aber antisymmetrisch:

Ist (a,b) ∈ R, dann ist (b, a) ∉ R. die Voraussetzung "Ist (a,b) ∈ R und ist (b,a) ∈ R" kann laso nicht erfüllt sein. Mittels ex falso quodlibet folgt dann, dass die Aussage "Ist (a,b) ∈ R und ist (b,a) ∈ R, so ist a = b" gültig ist.

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Danke ich werde es versuchen bei den anderen Aufgaben genauso zu machen. (Also mit einer ähnlichen Vorgehensweise)