Ableitung: Könnte mir jemand Schritt für Schritt die h-Methode für die Funktion f(x) = 0,5*x^2-x+3 erklären ?

Question

Die Funktion lautet f(x) = 0,5*x²-x+3

und ich soll sie nach der Formel    Limes _{h gegen 0} von \(\frac{f(x₀+h)-f(x₀)}{h} \)

lösen. Für normale Funktionen wie f(x)=x^2 schaffe ich dies, aber bei der Funktion von oben habe ich einfach starke Probleme. Könnte mir jemand Schritt für Schritt die Vorgehensweise erklären ?

Answer 1

Deine Funktion lautet: $$f(x)= 0,5x^2-x+3$$ und das wird nun in die 'h-Formel' eingesetzt: $$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{0,5 (x+h)^2 - (x+h) + 3 - (0,5x^2 - x + 3)}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{0,5 (x^2+2hx + h^2) \colorbox{#ff88ff}{- x}- h \colorbox{#ffff00}{+ 3} - 0,5x^2 \colorbox{#ff88ff}{+ x} \colorbox{#ffff00}{- 3}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\colorbox{#88ff88}{0.5 x²}+ hx + 0,5h^2- h \colorbox{#88ff88}{- 0.5x²} }{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \frac{ hx + 0,5h^2- h }{h} \\ &= \lim_{x \to 0} x + 0,5 h - 1 \\ &= x-1\end{aligned}$$ achte beim Auflösen der Klammern auf die Vorzeichen. Ich habe Dir die Terme, die sich aufheben, farblich markiert. Als Regel kannst Du Dir merken, dass sich bei Funktionen dieser Art alle Terme, die kein \(h\) enthalten, aufheben müssen. Am Ende kann man dann \(h\) kürzen.

Falls noch Fragen offen sind, so frage bitte nach.

Comments

Vielen Dank, ich bin der Gast von oben.

Ich verstehe nun alles, bis auf eine Sache. Woher kommt beim Ausklammern des h's aufeinmal die -1 ?

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Die Formel lautet:$$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ Wenn der Grenzwert gegen Null geht (x_0=0), dann ist x=h+0, also x=h!

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Nicht ausklammern, ich meine natürlich kürzen.

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Woher kommt beim Ausklammern des h's auf einmal die -1 ?

\(-h = (-1) \cdot h\) wenn man dann \(h\) kürzt oder ausklammert, so bleibt \(-1\) übrig. Mache die Gegenprobe: $$(x+0,5h - 1) \cdot h = xh+ 0,5h^2 - h$$

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Wenn der Grenzwert gegen Null geht (x_0=0), dann ist x=h+0, also x=h!

Es geht nicht der Grenzwert gegen 0, sondern \(h\) geht gegen 0. Und wo steht, dass hier \(x_0=0\) ist?

Answer 2

Bilde den Grenzwert von $$\frac{0,5*(x+h)²-(x+h)+3-(0,5*x²-x+3)}{h}$$ für h gegen 0.

Vorher solltest du den Bruchterm durch Anwenden der binomischen Formel, Vereinfachen durch Subtraktion und anschließendem Ausklammern von h im Zähler so vereinfachen, dass h gekürzt werden kann.

Comments

Was soll das ganze? Warum sagst du Ihm nicht einfach, dass \(x_0\) hier \(0\) ist und demnach \(x=h+0\) gilt, also \(x=h\)?

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@racine_carrée

Es ist immer wieder charmant, wenn Meinungsäußerungen durch keinerlei Sachkenntnis getrübt werden.

PS: Mit der h-Methode kann man die erste Ableitung an JEDER Stelle der hier behandelten Funktion berechnen.

Warum du hier $$x_0=0$$ erkennen willst, wird wohl dein kleines Geheimnis bleiben.

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1:0 für dich. Ich mag deine snobistische Art.

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1:1.

Ich hätte eher erwartet, dass das als Beleidigung getaggt wird oder ein Moderator schimpft...

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Schön, dann wir wieder gleich auf. Ich bin zwar auch Moderator aber:

https://www.mathelounge.de/538434/problem-kommentare-auf-der-mathelounge-vs-echte-probleme

Aber deine Schreibweise gefällt mir. Ist zwar kein Umgangston, aber wir sind im Internet!