Kombinatorik. Wahrscheinlichkeit für ein weiteres Ass beim Kartenziehen?

Question

Ich suche nach einer Formel, mit der ich die Wahrscheinlichkeiten, z.B. beim Kartenziehen, berechnen kann.

Vereinfachtes Beispiel: Lukas und Theo spielen Karten. JEDER von ihnen hat ein Kartendeck mit 52 Karten und vier Karten in der Hand. Lukas hat ein Ass, eine Zehn, und 2 Zweien. Wenn Lukas 3 Karten von seinem Stapel zieht und er ein weiteres Ass ziehen möchte, was ist die Wahrscheinlichkeit? D.h. es sind 48 Karten im Deck (D = 52 minus die 4 Karten auf der Hand), 3 Targetkarten (T = 4 Asse minus das Ass in der Hand), und 3 Karten sind zu ziehen (H=3).

--> D=48, T=3, H=3

Ich suche eine universelle Formel, bei der ich einfach die Werte von D, T, und H eingeben kann, unabhängig der gewählten Zahlen (siehe auch weiter unten)

Folgende Formel habe ich gefunden: probability=1−((D−T)!−(D−T−H)!)(D!−(D−H)!−1))=17.96%

Quelle: http://www.unseelie.org/cgi-bin/cardco.cgi?deck=48&target=3&hand=3

HTML Source Code: http://www.unseelie.org/srccgi/ScottsGamingCgi.pdf, Seite 2-3

Mein Versuch, diese Formel "vernünftig" darzustellen:

probability \( =1-\left(\frac{(D-T) !-(D-T-H) !)}{(D !-(D-H) !-1)}\right) \)

Das Problem ist jedoch, dass der Term (D-T-H)! negativ werden kann im Fall von, z.B. D=48, T=48, H=3, aber Fakultäten sind nur für positive Zahlen erlaubt. Dieser Fall (D=48, T=48, H=3) ist ja aber durchaus legitim. Weitere Bedingungen sind:

T > 0; H > 0; D ≥ T, D ≥ H.

Deswegen vermute ich, dass diese Formel falsch ist. Allerdings berechnet sie auf der Webseite die korrekten Wahrscheinlichkeiten. Zumindest in den Fällen, in denen ich das Ergebnis mit Kopfrechnen überprüfen kann, z.B.

D=48, T=3, H=1  -> 3/48 = 1/16 = 6.25% oder D=48, T=48, H=3 → 100%.

Gibt es eine solche universelle Formel (dargestell mit D, T, und H anstatt mit Zahlen) und wie würde diese konkret aussehen?

P.S. Tatsächlich bin ich eher an Fällen interessiert, wie z.B. D=75, T=12, H=4 oder D=75, T=19, H=3. Im weiteren Schritt möchte ich diese Formel in R Statistics programmieren, so dass ich die Werte beliebig austauschen kann und immer das korrekte Ergebnis angezeigt wird.

Comments

Lukas hat ein Ass, eine Zehn, und 2 Zweien. Wenn Lukas 3 Karten von seinem Stapel zieht und er

Was meinst du mit "seinem Stapel"? Die Karten, die Lukas in der Hand hat?

Kann sein, dass du auch bei den "ähnlichen Fragen" Ideen finden kannst. Erst müsste aber die Fragestellung eindeutig sein. Zieht er z.B. "ohne Zurücklegen"?

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Nein, ich meine den Kartenstapel, in dem noch 48 Karten vorhanden sind (D=52), minus das Ass, die Zehn, und die 2 Zweien in seiner Hand. Korrekter formuliert wäre Stapel = Deck.

Ja, ohne Zurücklegen. Die Karten in der Hand bleiben in der Hand. Wenn er die Karten in seiner Hand wieder zurücklegt, wäre ja D=52 und dann würde er wieder Karten ziehen.

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Nachtrag: T (Targetkarten) wäre dann natürlich wieder 4 anstatt 3, falls er Karten wieder zurücklegt

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Ich habe mir schon mögliche, relevante Foreneinträge angeschaut, aber nichts gefunden, was mir bei der Erstellung einer universellen Formel helfen würde

Answer 1

Die Fromel scheint  äquivalent zu $$P=1-\frac{\binom{D-T}{H}}{\binom{D}{H}}$$ sein und wäre damit richtig (ich habe die Umformung nicht hinbekommen, scheint aber korrekt). Zu deinen obigen Einschränkungen muss aber zudem D-T ≥ H gelten.

Überlege dir allerdings was diese Einschränkung bedeutet:

"Es müssen mindestens so viele Nicht-Target-Karten im Deck sein, wie gezogen werden."

Sollte diese Einschränkung nicht gelten, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass mind. eine Target-Karte gezogen wird, natürlich stets 100%.

Comments

@Trashcan

Danke für die Formel. Ich bekomme die Umformung auch nicht hin. Ich habe aber mittlerweile selber herausgefunden, wie man auf anderem Weg auf die Formel kommt, die du angegeben hast. Kenne mich mit MathJax nicht aus, deswegen habe ich einen Screenshot angehängt. Danke für deinen Hinweis!

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Wie gesagt, die beiden Formeln müssten letztendlich gleich sein, in den Binominalkoeffizienten stecken ja auch die Fakultäten drinne. Dein eigentliches Problem löst die andere Form der Formel alleine nicht - für dein Beispiel D=48, T=48, H=3 sind beide Formeln nicht definiert.

Die universelle Formel die du suchst sollte also, wenn man es genau nimmt (und wir sind ja im Mathe Forum ☺), eigentlich

$$\begin{aligned} P = \begin{cases} 1-\frac{\binom{D-T}{H}}{\binom{D}{H}} & \text{, für }D-T\ge H\\1\quad&\text{, sonst} \end{cases} \end{aligned}$$

lauten.