Aufgabe:
Für eine Lotterie wird eine 7-stellige Gewinnzahl auf folgende Weise ermittelt: In einer Trommel kommen die Ziffern 0 bis 9 je 7-mal vor. Die 7 Ziffern der Gewinnzahl werden nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.
a) Wie viele Losnummern sind möglich?
b) Ist das Ausloseverfahren für jede mögliche Gewinnzahl gleich vorteilhaft?
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Gewinnzahl 9551759 gewinnt.
d) Wie lässt sich das Verfahren der Auslosung zu einer gerechten Lotterie modifizieren.
mit der Aufgabe komme ich nicht bzw. nur teilweise klar. Meine Lösungen sind "zu fuß" konstruiert, wobei ich gar nicht weiß, ob sie korrekt sind.
Gerne würde ich bei a) und c) wissen, wie man genau formal auf die korrekten Ergebnisse kommt.
Meine Gedanken:
a) Für jede der 7 Ziffern gibt es 10 Möglichkeiten, also 10^7 Losnummern. Ich denke das stimmt, aber kann man das auch irgendwie in die Kategorien Permutation, Variation oder Kombination einkategorisieren und so die Aufgabe lösen? 10^7 sieht ja wie eine Variation aus, aber ich kann es nicht interpretieren.
b) Nein, da die Ziffern nicht zurückgelegt werden.
c) Hier würde ich mit Laplace arbeiten. D.h. alle 70 Ziffern imaginär durchnummerieren und sie so unterscheidbar machen. Dann hat jede der 70 Ziffern die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden.
Dann ist die Mächtigkeit des Grundraums |Ω| = \( \frac{70!}{63!} \) .
Sei |E| die Mächtigkeit der günstigen Ereignisse:
Zerlege die gewünschte Gewinnzahl 9551759 in 7 Teilexperimente. Dann gibt es für die erste 9 7 Möglichkeiten, für die erste 5 7 Möglichkeiten, für die zweite 5 6 Möglichkeiten, für die erste 1 7 Möglichkeiten, für die erste 7 7 Möglichkeiten, für die dritte 5 5 Möglichkeiten und für die zweite 9 6 Möglichkeiten. Also nach Zählprinzip ist dann |E| = 7^4 * 6^2 * 5.
Und damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
\( \frac{|E|}{|Ω|} \) = \( \frac{7^4 * 6^2 * 5}{64*65*...*70} \) = 0,0000000715
d) Indem die Ziffern nach dem Ziehen wieder zurückgelegt werden.
