Das war jetzt relativ komplex und aufgebläht, weil ich es allgemein bewiesen habe, für Funktionen wie die deine ist die Polynomdivision ja nicht umfangreich, inbesondere, da du nach dem ersten Durchlauf aufhörst:
$$\begin{aligned}&(3x^2-1):(2x^2+2)=\frac{3}{2}-\frac{4}{2x^2+2}\\ -&\underline{(3x^2+3)}\\ &\qquad-4 \end{aligned}$$
$$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}{\left( \frac{3}{2}-\frac{4}{2x^2+2}\right)}=\frac{3}{2}$$
Geht wahrscheinlich genauso schnell aufzuschreiben, als einen Satz auszuformulieren, in dem du auf die Leitkoeffizienten der Zähler- und Nennerpolynome verweist.